Telegraphengleichung

Die Telegraphengleichung ist eine allgemeine Form der Wellengleichung. Sie ist eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.

Allgemeines

Die Telegraphengleichung ist eine partielle Differentialgleichung (bei $a>0$ hyperbolisch, bei $a<0$ elliptisch und bei $a=0$ parabolisch) und lautet in der allgemeinen Form:

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=a\cdot \frac{{\partial }^2\overrightarrow{F}}{\partial t^2}+b\cdot \frac{\partial \overrightarrow{F}}{\partial t}+c\cdot \frac{\partial \overrightarrow{F}}{\partial x}+d\cdot \overrightarrow{F}$.

Dabei ist $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}$ der Laplace-Operator, in einer Orts-Dimension also $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=\frac{{\partial }^2\overrightarrow{F}}{\partial x^2}$. Die Ableitung nach $x$ steht hier stellvertretend für die Ableitung nach Ortskoordinaten. Statt eines Vektors kann auch ein Skalar $F$ stehen.

In dieser Form ist sie eine Gleichung, die viele andere lineare partielle Differentialgleichungen der Physik als Spezialfälle enthält (Wellengleichung, Diffusionsgleichung, Helmholtz-Gleichung, Potentialgleichung).

Telegraphengleichung mit a>0, b>0; c=d=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ:

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}=a\frac{{\partial }^2\overrightarrow{F}}{\partial t^2}+b\frac{\partial \overrightarrow{F}}{\partial t}$

Der Vorfaktor $a$ hat die Dimension eines inversen Geschwindigkeitsquadrats.

Zum Beispiel kann man mit den Materialgleichungen der Elektrodynamik die Maxwellgleichungen in ladungsfreien Raumgebieten umschreiben zu

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{E}=\frac{\mu \epsilon }{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}+\sigma {\mu }_0\mu \frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

und

$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{H}=\frac{\mu \epsilon }{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{H}}{\partial t^2}+\sigma {\mu }_0\mu \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t}$.

wobei $c^2=\frac{1}{{\mu }_0{\epsilon }_0}$ (c der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) benutzt wurde.

Das sind Wellengleichungen für ein verlustbehaftetes Dielektrikum. Im Fall eines Isolators ist $\sigma =0$ und die Maxwellgleichungen reduzieren sich zur (vektoriellen) Wellengleichung.

Telegraphengleichung mit a>0; b=c=d=0

Die Gleichungen sind allgemein vom Typ der Wellengleichung:

$\mathrm{\Delta }F=a\frac{{\partial }^{2}F}{\partial t^2}$

Insbesondere erhält man die ursprünglich von Oliver Heaviside eingeführten Telegraphengleichungen für die Spannung $U$ und dem Strom $I$ in einer Doppelleitung mit Induktivität $L$ und Kapazität $C$ (Auf die Länge bezogen und im Allgemeinen ortsabhängig):

$\frac{{\partial }^{2}U}{\partial x^2}=LC\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}$

bzw.

$\frac{{\partial }^{2}I}{\partial x^2}=LC\frac{{\partial }^{2}I}{\partial t^2}$

wobei Leitungsverluste vernachlässigt wurden. Da $a=LC$ breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit $\frac{1}{\sqrt{(LC)}}$ aus.

Ein weiteres Beispiel sind die oben angegebenen Wellengleichungen des elektromagnetischen Feldes im Fall keiner Verluste ($\sigma =0$ wie im freien Raum).

Literatur

• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Elektromagnetische Felder, Maxwellsche Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz, Finite Elemente, Finite Differenzen, Ersatzladungsverfahren, Boundary-Element-Methode, Momentenmethode, Monte-Carlo-Verfahren. 6. unveränderte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42018-5.

Weblinks

• Telegraphengleichung, Lexikon der Physik, Spektrum Verlag