Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Definition

Die Poisson-Klammer ist definiert als

$\{f,g\}:=\sum _{k=1}^s(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial g}{\partial p_k}-\frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial g}{\partial q_k})$

mit

• $f$ und $g$ Funktionen der generalisierten Koordinaten $q_k$ und der kanonisch konjugierten Impulse $p_k$
• $s$ Anzahl der Freiheitsgrade.

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen $F$ und $G$ definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

$\{F,G{\}}_{ab}:=\sum _{k=1}^s(\frac{\partial F}{\partial a_k}\frac{\partial G}{\partial b_k}-\frac{\partial F}{\partial b_k}\frac{\partial G}{\partial a_k})$.

Eigenschaften

• Bilinearität

$\{c_1{f}_1+c_2{f}_2,g\}=c_1\{f_1,g\}+c_2\{f_2,g\}$

• Antisymmetrie

$\{f,g\}=-\{g,f\}$, insbesondere $\{f,f\}=0$

• Produktregel

$\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}$

• Jacobi-Identität

$\{f,\{g,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}+\{g,\{h,f\}\}=0$

• Invarianz

Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien $(\mathbf{𝐪},\mathbf{𝐩})$ und $(\mathbf{𝐐},\mathbf{𝐏})$ zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt:

$\{f,g{\}}_{\mathbf{𝐪}\mathbf{𝐩}}=\{f,g{\}}_{\mathbf{𝐐}\mathbf{𝐏}}=\{f,g\}$.

Der Beweis ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

Fundamentale Poisson-Klammern

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

$\{q_k,q_l\}=0$

$\{p_k,p_l\}=0$

$\{q_k,p_l\}={\delta }_{kl}$ (Kronecker-Delta)

Sie folgen aus den trivialen Beziehungen

$\begin{array}{rlrl}& \frac{\partial q_k}{\partial q_l}={\delta }_{kl}& & \frac{\partial p_k}{\partial q_l}=0\\ & \frac{\partial q_k}{\partial p_l}=0& & \frac{\partial p_k}{\partial p_l}={\delta }_{kl}\end{array}$

Anwendung

• Mithilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen $f(q_k,p_k,t)$ eines Hamiltonschen Systems $H(q_k,p_k)$ ausgedrückt werden (Hamiltonsche Bewegungsgleichungen):

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}$.

• Dual zur Bewegungsgleichung der Observablen ist die Liouville-Gleichung, die die Dynamik der Verteilungsdichte in der statistischen Mechanik beschreibt:

$\dot{\rho }=\{H,\rho \}.$

• In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer ersetzt durch $(-\frac{\mathrm{i}}{\hslash })$ mal den Kommutator:

$\{H,f\}\to -\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{f}]$

Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator $\hat{H}$ im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.

• Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.

• Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch $\omega =\sum _{ij}{\omega }_{ij}\mathrm{d}{x}^i\wedge \mathrm{d}{x}^j$, die Poisson-Klammer der Funktionen $f$ und $g$ durch:

$\{f,g\}=\sum _{ij}{\omega }^{ij}{\partial }_{i}f{\partial }_{j}g.$

• Koordinatenunabhängig lässt sich die Poisson-Klammer wie folgt darstellen: es sei $J:T^{*}M\to TM$ der durch $J^{-1}(v)(w)=\omega (v,w)$ beschriebene Isomorphismus. Weiter sei für eine Funktion $f$ das Vektorfeld $X_f$ definiert als $J(\mathrm{d}f)$. Damit gilt dann

$\{f,g\}=\omega (X_f,X_g).$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Poisson Bracket. In: MathWorld (englisch).