Dispersionsrelation

In der Physik beschreibt die Dispersionsrelation (lat. dispergere ‚verteilen', ‚ausbreiten', ‚zerstreuen') den Zusammenhang zwischen dem Ablauf eines physikalischen Prozesses (Frequenz, Energie) und den Eigenschaften der ihn beschreibenden Größen (Wellenzahl, Brechungsindex, Ausbreitungsgeschwindigkeit, Impuls).

Mathematisch ist die Dispersionsrelation die Beziehung zwischen der Kreisfrequenz $\omega$ und der Kreiswellenzahl $k$. Sie wird aus der linearen Wellengleichung durch eine Fouriertransformation in Raum und Zeit gewonnen und hat die Form

$\omega =f(k)$.

Im einfachsten Fall sind Kreisfrequenz und Kreiswellenzahl stets proportional

$\omega =v_{\text{Phase}}\cdot k$,

mit der konstanten Phasengeschwindigkeit $v_{\text{Phase}}=\frac{\omega }{k}$. In diesem Fall gibt es keine Dispersion.

Die Geschwindigkeit eines Wellenpakets ist dagegen die Gruppengeschwindigkeit $v_{\text{Gruppe}}=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}k}.$

Ein Wellenpaket besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen, die unterschiedliche Phasengeschwindigkeiten haben können. Daher läuft ein Wellenpaket im Allgemeinen auseinander. Wellenpakete, die aufgrund nichtlinearer Effekte trotz Dispersion nicht auseinanderlaufen, werden als Solitonen bezeichnet.

Optik

Datei:1D Photonic Crystal.png

Bandstruktur eines eindimensionalen photonischen Kristalls. Die Dispersionsrelation $\omega (k_{\mathrm{z}})$ lässt sich direkt an der Steigung der Bänder ablesen

In der Dispersionsrelation der Optik taucht der (komplexe) Brechungsindex $n$ als Funktion der Kreisfrequenz auf:

$\omega =c_{\text{M}}k=\frac{c}{n(\omega )}k\Rightarrow n=\frac{c}{c_{\text{M}}}=\frac{ck}{\omega }=f(\omega )$

mit

• der Phasengeschwindigkeit $c_{\text{M}}$ von Licht in einem Medium
• der Vakuumlichtgeschwindigkeit $c$.

Teilchenphysik

Da die Frequenz immer in Zusammenhang mit der Energie steht

$\omega =\frac{E}{\hslash }$

und die Wellenzahl (bzw. der Wellenvektor) mit dem Impuls $p$

$\overrightarrow{k}=\frac{\overrightarrow{p}}{\hslash },$

bezeichnet man die Energie-Impuls-Beziehungen der Teilchenphysik auch als Dispersionsrelation (oder Dispersionsbeziehung), z. B. bei freien Elektronen im nicht-relativistischen Grenzfall:

$\begin{array}{rlrl}& & E& =\frac{p^2}{2m}\\ \Rightarrow & & \hslash \omega & =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\\ \iff & & \omega & =\frac{\hslash }{2m}{k}^2,\end{array}$

wobei $\hslash$ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum und $m$ die Masse des Teilchens bezeichnet.

Festkörperphysik

In der Festkörperphysik wird die Dispersion als Zusammenhang zwischen Energie bzw. Kreisfrequenz und Wellenzahl eines Teilchens oder Quasiteilchens angegeben. In Festkörpern wird dabei einerseits den Phononen (Gitterschwingungen des Atomgitters) eine Phononen-Dispersionsrelation zugeordnet, andererseits kann den Elektronen eine Elektronen-Dispersionsrelation zugeordnet werden, die mit Hilfe der Bandstruktur beschrieben wird.

Literatur

• Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. Springer-Verlag, 2015, ISBN 3-663-10954-2, S. 29 f.