Generalisierter Impuls

Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.

Als Funktion des Ortes $q$ und der Geschwindigkeit $\dot{q}$ ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion $L$ nach der Geschwindigkeit:

$p_j=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_j},j=1....n$

Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator $\hat{p}$ ersetzt:

$p_j\to {\hat{p}}_j=-\hslash i\frac{\partial }{\partial x_j}$

Beispiele

Klassische Bewegung

• Bei Bewegung eines Teilchens der Masse $m$ in einem Potential $V(\mathbf{𝐱},t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

$L=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{𝐱}}}^2-V(\mathbf{𝐱},t)$

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

$\mathbf{𝐩}=m\dot{\mathbf{𝐱}}$

• Bei Bewegung eines Teilchens der Masse $m$ in einem Potential $V(r,\phi ,z,t)$ in Zylinderkoordinaten

$L=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2+{\dot{z}}^2)-V(r,\phi ,z,t)$

ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:

$p_{\dot{\phi }}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=m{r}^2\dot{\phi }$

• Bei Bewegung einer Punktladung $q$ mit Masse $m$ im elektromagnetischen Feld ($\varphi$ ist das elektrische Potential)

$L=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{𝐱}}}^2-q\varphi (t,\mathbf{𝐱})+q\dot{\mathbf{𝐱}}\cdot \mathbf{𝐀}(t,\mathbf{𝐱})$

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential $\mathbf{𝐀}$ des Feldes:

$\mathbf{𝐩}=m\dot{\mathbf{𝐱}}+q\mathbf{𝐀}(t,\mathbf{𝐱})$

Relativistische Bewegung

• Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Masse $m_0$ in einem Potential $V(\mathbf{𝐱},t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

$L=-m_0{c}^2\sqrt{1-\frac{{\dot{\mathbf{𝐱}}}^2}{c^2}}-V(\mathbf{𝐱},t)$

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

$\mathbf{𝐩}=\frac{m_0\dot{\mathbf{𝐱}}}{\sqrt{1-\frac{{\dot{\mathbf{𝐱}}}^2}{c^2}}}$

• Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung $q$ mit der Masse $m_0$ im elektromagnetischen Feld

$L=-m_0{c}^2\sqrt{1-\frac{{\dot{\mathbf{𝐱}}}^2}{c^2}}-q\varphi (t,\mathbf{𝐱})+q\dot{\mathbf{𝐱}}\cdot \mathbf{𝐀}(t,\mathbf{𝐱})$

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:

$\mathbf{𝐩}=\frac{m_0\dot{\mathbf{𝐱}}}{\sqrt{1-\frac{{\dot{\mathbf{𝐱}}}^2}{c^2}}}+q\mathbf{𝐀}(\mathbf{𝐱},t)$

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.