Quelltext der Seite Planck-Einheiten

{{Dieser Artikel|befasst sich mit dem Einheitensystem; für die Skala siehe: [[Planck-Skala]].}}

Die '''Planck-Einheiten''' bilden ein System [[natürliche Einheiten|natürlicher Einheiten]] für die [[Physikalische Größe|physikalischen Größen]].

Sie werden direkt als Produkte und Quotienten der fundamentalen [[Naturkonstanten]] berechnet aus:
* [[Gravitationskonstante]] <math>\textstyle G</math>
* [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>\textstyle c</math>
* [[Plancksches Wirkungsquantum|reduziertes plancksches Wirkungsquantum]] <math>\textstyle \hbar</math>
* [[Boltzmann-Konstante]] <math>\textstyle k_\mathrm{B}</math>
* [[Coulombsches Gesetz|Coulomb-Konstante]] <math>k_\mathrm C = \frac{1}{4 \pi\textstyle\varepsilon_0}</math> (mit der elektrischen [[Permittivität]] des Vakuums <math>\textstyle \varepsilon_0</math>).

In Planck-Einheiten ausgedrückt haben diese Naturkonstanten (oder bestimmte konventionelle Vielfache dieser) daher allesamt den Zahlenwert 1. In diesem Einheitensystem sind dann viele Berechnungen numerisch einfacher. Die Planck-Einheiten sind nach [[Max Planck]] benannt, der 1899 bemerkte, dass mit seiner Entdeckung des Wirkungsquantums nun genügend fundamentale Naturkonstanten bekannt waren, um universelle Einheiten für Länge, Zeit, Masse und Temperatur zu definieren.

Die Bedeutung der Planck-Einheiten liegt zum einen darin, dass die Planck-Einheiten minimale Grenzen (z.&nbsp;B. für [[Länge (Physik)|Länge]] und [[Zeit]]) markieren, bis zu denen wir [[Kausalität|Ursache und Wirkung]] unterscheiden können. Das heißt, hinter dieser Grenze sind die bisher bekannten physikalischen Gesetze nicht mehr anwendbar, z.&nbsp;B. bei der theoretischen Aufklärung der Vorgänge kurz nach dem [[Urknall]] (siehe [[Planck-Skala]]).

Zum anderen gilt, wie Planck es ausdrückte, dass die Planck-Einheiten „unabhängig von speziellen Körpern oder Substanzen ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Kulturen notwendig behalten und […] daher als ‚natürliche Maßeinheiten‘ bezeichnet werden können“,<ref>Max Planck: ''Über Irreversible Strahlungsvorgänge''. In: ''Sitzungsbericht der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften'', 1899, erster Halbband [http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=10-sitz/1899-1&seite:int=494 S. 479–480.]</ref> d.&nbsp;h., unsere [[Physikalisches Gesetz|Naturgesetze]] sind bis hinunter zu den Planck-Einheiten universal im [[Universum|Kosmos]] anwendbar, verständlich und [[Kommunizieren|kommunizierbar]].

== Definitionen ==

=== Grundgrößen {{Anker|Planckmasse}} {{Anker|Plancklänge}} {{Anker|Plankzeit}} {{Anker|Planckladung}} {{Anker|Plancktemperatur}} ===
Die Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen [[Dimensionsbetrachtung]]. Sie ergeben sich als mathematische Ausdrücke von der Dimension einer Länge, Zeit bzw. Masse, die nur Produkte und Quotienten geeigneter Potenzen von <math>G</math>, <math>c</math> und <math>\hbar</math> enthalten. Benutzt man zusätzlich die elektrische [[Permittivität|Permittivität des Vakuums]] <math>\varepsilon_0</math> und die [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_\mathrm{B}</math>, so lassen sich außerdem eine ''Planck-Ladung'' und eine ''Planck-Temperatur'' als weitere Grundgrößen bestimmen. Die Planck-Ladung erfüllt dabei die Bedingung, dass die Gravitationskraft zwischen zwei Planck-Massen und die elektromagnetische Kraft zwischen zwei Planck-Ladungen gleich stark sind: <math>m_\mathrm P^2 G/\;\!l_\mathrm P^2 = q_\mathrm P^2/4\pi\varepsilon_0\, l_\mathrm P^2 </math>.

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Name
! [[Physikalische Größe|Größe]]
! [[Dimension (Größensystem)|Dimension]]
! Term
! Wert in [[SI-Einheiten]]
! in anderen Einheiten
|-
| '''Planck-Länge'''
| [[Länge (Physik)|Länge]] || style="text-align:center" | L
| <math> l_\mathrm{P} = \sqrt{\frac{\hbar\,G}{c^3}}</math>
| 1,616&nbsp;255(18) · 10<sup>−35</sup> [[Meter|m]]<ref>{{Internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plkl |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2019-07-08}} Wert für die Planck-Länge</ref>
| 3,054 · 10<sup>−25</sup> [[Bohrscher Radius|a<sub>0</sub>]]
|-
| '''Planck-Masse'''
| [[Masse (Physik)|Masse]] || style="text-align:center" | M
| <math>m_\mathrm{P} = \sqrt{\frac{\hbar\,c}{G}}</math>
| 2,176&nbsp;434(24) · 10<sup>−8</sup> [[Kilogramm|kg]]<ref>{{Internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plkm |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2019-07-08}} Wert für die Planck-Masse</ref>
| 1,311 · 10<sup>19</sup> [[Atomare Masseneinheit|u]],<br>1,221&nbsp;·&nbsp;10<sup>19</sup>&nbsp;[[GeV]]/c<sup>2</sup>
|-
| '''[[Planck-Zeit]]'''
| [[Zeit]] || style="text-align:center" | T
| <math>\!\,t_\mathrm{P} =  \sqrt{\frac{\hbar\,G}{c^5}} = \frac{l_\mathrm{P}}{c}</math>
| 5,391 247(60) · 10<sup>−44</sup> [[Sekunde|s]]<ref>{{Internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plkt |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2019-07-08}} Wert für die Planck-Zeit</ref>
|
|-
| '''Planck-Temperatur'''
| [[Temperatur]] || style="text-align:center" | Θ
| <math>\!\,T_\mathrm{P} = \frac{m_\mathrm{P}\,c^2}{k_\mathrm{B}}</math>
| 1,416&nbsp;784(16) · 10<sup>32</sup> [[Kelvin|K]]<ref>{{Internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plktmp |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2019-07-08}} Wert für die Planck-Temperatur</ref>
|
|-
| '''Planck-Ladung'''
| [[Elektrische Ladung|Ladung]] || style="text-align:center" | Q
| <math>q_\mathrm{P} = \sqrt{4\pi\varepsilon_0 \ \hbar\,c} </math>
| 1,875 545 956(41) · 10<sup>−18</sup> [[Coulomb|C]]
| 11,71 [[Elementarladung|e]]
|}

Die Formelzeichen bedeuten:
* <math>c</math> = [[Lichtgeschwindigkeit]]
* <math>G</math> = [[Gravitationskonstante]]
* <math>\varepsilon_0</math> = [[Elektrische Feldkonstante]]
* <math>k_\mathrm{B}</math> = [[Boltzmann-Konstante]]
* <math>\hbar</math> = [[reduziertes plancksches Wirkungsquantum]]

Statt <math>\,G</math> wird manchmal <math>\,8\pi G</math> zu Eins gesetzt, dann ergibt sich als Masseeinheit die reduzierte Planck-Masse:
:<math>\overline{m_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c}{8\pi G}} \approx 4{,}340 \, \mu\mathrm{g}</math>.
Mit der Definition einer entsprechend reduzierten Planck-Ladung  <math>\overline{q_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar\,c\,\varepsilon_0}{2}} </math> bleibt dann die o.&nbsp;g. Gleichheit der Kräfte erhalten.

=== Abgeleitete Größen ===
Neben diesen fünf Grundgrößen werden auch folgende abgeleitete Größen verwendet:

{| class="wikitable sortable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Name
! [[Physikalische Größe|Größe]]
! [[Physikalische Dimension|Dimension]]
! Term
! Wert in SI-Einheiten
|-
| '''Planck-Fläche'''
| [[Flächeninhalt|Fläche]]
| L<sup>2</sup>
| <math>l_\mathrm{P}^2 = \frac{\hbar G}{c^3}</math>
| 2,612 · 10<sup>−70</sup> [[Quadratmeter|m<sup>2</sup>]]
|-
| '''Planck-Volumen'''
| [[Volumen]]
| L<sup>3</sup>
| <math>l_\mathrm{P}^3 = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}^{\,3}</math>
| 4,222 · 10<sup>−105</sup> [[Kubikmeter|m<sup>3</sup>]]
|-
| '''Planck-Energie'''
| [[Energie]] || ML<sup>2</sup>T<sup>−2</sup>
| <math>E_\mathrm{P} = m_\mathrm{P} c^2 = \frac{\hbar}{t_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} </math>
| 1,956 · 10<sup>9</sup> [[Joule|J]]<br>= 1,2209 · 10<sup>28</sup> [[Elektronenvolt|eV]]<br>= 543,4 [[kWh]]
|-
| '''Planck-Impuls'''
| [[Impuls (Physik)|Impuls]] || MLT<sup>−1</sup>
| <math>m_\mathrm{P} c = \frac{\hbar}{l_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}} </math>
| 6,525 [[Kilogramm|kg]] [[Meter pro Sekunde|m·s<sup>−1</sup>]]
|-
| '''Planck-Kraft'''
| [[Kraft]] || MLT<sup>−2</sup>
| <math>F_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{l_\mathrm{P} t_\mathrm{P}} = \frac{c^4}{G} </math>
| 1,210 · 10<sup>44</sup> [[Newton (Einheit)|N]]
|-
| '''Planck-Leistung'''
| [[Leistung (Physik)|Leistung]] || ML<sup>2</sup>T<sup>−3</sup>
| <math>P_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{t_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{t_\mathrm{P}^2} = \frac{c^5}{G} </math>
| 3,628 · 10<sup>52</sup> [[Watt (Einheit)|W]]
|-
| '''Planck-Dichte'''
| [[Dichte]] || ML<sup>−3</sup>
| <math>\rho_\mathrm{P} = \frac{m_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}^3} = \frac{\hbar t_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2} </math>
| 5,155 · 10<sup>96</sup> [[Dichte|kg·m<sup>−3</sup>]]
|-
| '''Planck-Kreisfrequenz'''
| [[Kreisfrequenz]] || T<sup>−1</sup>
| <math>\omega_\mathrm{P} = \frac{1}{t_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}} </math>
| 1,855 · 10<sup>43</sup> [[Hertz (Einheit)|s<sup>−1</sup>]]
|-
| '''Planck-Druck''' '''(Planck-Energiedichte)'''
| [[Druck (Physik)|Druck]] || ML<sup>−1</sup>T<sup>−2</sup>
| <math>p_\mathrm{P} = \frac{F_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}^2} = \frac{\hbar}{l_\mathrm{P}^3 t_\mathrm{P}} =\frac{c^7}{\hbar G^2} </math>
| 4,633 · 10<sup>113</sup> [[Pascal (Einheit)|Pa]]
|-
| '''Planck-Strom'''
| [[Elektrischer Strom]] || QT<sup>−1</sup>
| <math>I_\mathrm{P} = \frac{q_\mathrm{P}}{t_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^6  4 \pi \varepsilon_0}{G}} </math>
| 3,479 · 10<sup>25</sup> [[Ampere|A]]
|-
| '''Planck-Spannung'''
| [[Elektrische Spannung]] || ML<sup>2</sup>T<sup>−2</sup>Q<sup>−1</sup>
| <math>U_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{q_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{t_\mathrm{P} q_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \varepsilon_0} } </math>
| 1,043 · 10<sup>27</sup> [[Volt|V]]
|-
| '''Planck-Impedanz'''
| [[Elektrischer Widerstand|Widerstand]] || ML<sup>2</sup>T<sup>−1</sup>Q<sup>−2</sup>
|<math>Z_\mathrm{P} = \frac{U_\mathrm{P}}{I_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{q_\mathrm{P}^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi} </math>
| 29,98 [[Ohm (Einheit)|Ω]]
|-
| '''Planck-Beschleunigung'''
| [[Beschleunigung]] || LT<sup>−2</sup>
| <math>g_\mathrm{P}  = \frac{F_\mathrm{P}}{m_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^7}{\hbar G}} </math>
| 5,56 · 10<sup>51</sup>  [[Beschleunigung|m·s<sup>−2</sup>]]
|-
| '''Planck-Magnetfeld'''
| [[Magnetische Flussdichte]] || MQ<sup>−1</sup>T<sup>−1</sup>
| <math>B_\mathrm{P} = \sqrt{\frac{\mu_0}{4 \pi}p_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G^2 4 \pi \varepsilon_0} } </math>
| 2,1526 · 10<sup>53</sup>  [[Tesla (Einheit)|T]]
|-
| '''Planck-Magnetischer Fluss'''
| [[Magnetischer Fluss]] || ML<sup>2</sup>T<sup>−1</sup>Q<sup>−1</sup>
| <math>\phi_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{I_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar}{4 \pi \varepsilon_0 c} } </math>
| 5,6227 · 10<sup>−17</sup>  [[Weber (Einheit)|Wb]]
|}

Die Planck-Einheit für den Drehimpuls ergibt sich aus dem Produkt von Planck-Länge und Planck-Impuls zu dem Wert <math>\hbar</math>. Das ist gerade die aus der [[Quantenmechanik]] bekannte Einheit der [[Drehimpulsoperator|Drehimpulsquantelung]].

Die Planck-Fläche <math>l_\mathrm{P}^2</math> spielt insbesondere in [[Stringtheorie]]n und bei Überlegungen zur [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] Schwarzer Löcher in Zusammenhang mit dem [[Holografisches Prinzip|holografischen Prinzip]] eine wichtige Rolle.

== Geschichte ==

Ende des 19.&nbsp;Jahrhunderts entdeckte Planck bei seinen Untersuchungen zur Theorie der Strahlung [[Schwarzer Körper]], für die er zwei Jahrzehnte später den Nobelpreis für Physik erhielt, die letzte zur Definition der Planck-Einheiten erforderliche Naturkonstante, das später nach ihm benannte Wirkungsquantum. Er erkannte die Möglichkeit, damit ein universell gültiges System von Einheiten zu definieren und erwähnte diese in einem Vortrag „Über irreversible Strahlungsvorgänge“.<ref>publiziert in ''Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften''. Band 5, 1899, S. 479.</ref> Das folgende Zitat vermittelt einen Eindruck von dem Stellenwert, den Planck diesen Einheiten einräumte<ref name="SitzungKPAkWiss1899">''Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin''. 1899, [http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=10-sitz/1899-1&seite:int=493 Erster Halbband.] Verl. d. Kgl. Akad. d. Wiss., Berlin 1899</ref>
{{Zitat|Text=… die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten [...] aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig<!--sic--> behalten und welche daher als ‚natürliche Maasseinheiten‘<!--sic--> bezeichnet werden können.|Autor=Max Planck|ref=<ref name="SitzungKPAkWiss1899" />}}<!--<sup>(Hervorhebung im Original)</sup>-->

Obwohl Planck diesem Einheitensystem ein Kapitel (§ 159. Natürliche Maßeinheiten)<ref>Max Planck: Theorie der Wärmestrahlung https://archive.org/download/vorlesungenberd04plangoog/vorlesungenberd04plangoog.pdf</ref> seines 1906 erschienenen Buches ''Theorie der Wärmestrahlung'' widmete und dieses Thema auch später wieder aufgriff, wurde es auch innerhalb der Physik nicht verwendet. Den Nachteilen, dass für die Verwendung in einem Maßsystem der Wert der Gravitationskonstante nicht genau genug bekannt war (und noch ist), und dass praxisrelevante Größen –&nbsp;in seinen Einheiten ausgedrückt&nbsp;– absurde Zahlenwerte hätten, stand kein Vorteil gegenüber, da bis dahin in keiner physikalischen Theorie gleichzeitig das Wirkungsquantum und die Gravitationskonstante auftauchte.

Erst nach ersten Arbeiten zur Vereinigung von Quantentheorie und Gravitation in den späten 1930er Jahren entstand das Anwendungsgebiet der Planck-Einheiten.
Als [[John Archibald Wheeler]] und [[Oskar Klein]] 1955 über die Planck-Länge als Grenze der Anwendbarkeit der Allgemeinen Relativitätstheorie veröffentlichten, war Plancks Vorschlag schon fast vergessen. Nach der „Wiederentdeckung“ der Planckschen Vorschläge für ein solches Maßsystem wurde dann ab 1957 der Name ''Planck-Einheiten'' gebräuchlich.

Allerdings unterscheiden sich die üblichen Planck-Einheiten von Plancks ursprünglichen Einheiten, da sich im Zuge der Entwicklung der Quantenmechanik gezeigt hat, dass <math>\hbar = \tfrac {h}{2\pi}</math> als [[Drehimpuls (Quantenmechanik)|Quant des Drehimpulses]] die fundamentalere natürliche Einheit ist als das von Planck gewählte <math>h</math>.

== Heutige Bedeutung ==

Formuliert man Gleichungen, die die Naturkonstanten <math>G</math>, <math>c</math> und <math>\hbar</math> enthalten, in Planck-Einheiten, so können die Konstanten entfallen. Dies vereinfacht in bestimmten Disziplinen der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] die Gleichungen erheblich, etwa in der allgemeinen Relativitätstheorie, in den [[Quantenfeldtheorie]]n und in den verschiedenen Ansätzen für eine [[Quantengravitation]].

Die Planck-Einheiten ermöglichen auch eine alternative Sichtweise auf die fundamentalen Kräfte der Natur, deren Stärke im [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Einheitensystem (SI)]] durch sehr unterschiedliche [[Kopplungskonstante|Kopplungskonstanten]] beschrieben wird. Bei Verwendung der Planck-Einheiten stellt sich die Situation wie folgt dar: Zwischen zwei Partikeln, die genau die Planckmasse und die Planckladung besitzen, wären die [[Gravitation]]skraft und die [[elektromagnetische Kraft]] exakt gleich groß. Die unterschiedliche Stärke dieser Kräfte in unserer Welt ist die Folge davon, dass ein Proton bzw. ein Elektron eine Ladung von etwa 0,085 Planckladungen besitzt, während ihre Massen um 19 bzw. 22 Größenordnungen kleiner als die Planckmasse sind. Die Frage: „Warum ist die Gravitation so schwach?“ ist also äquivalent zu der Frage: „Warum haben die Elementarteilchen so geringe Massen?“.

Verschiedene Physiker und Kosmologen befass(t)en sich mit der Frage, ob wir es bemerken könnten, wenn sich dimensionale [[physikalische Konstante]]n geringfügig ändern würden, und wie die Welt bei größeren Änderungen aussähe. Solche Spekulationen werden u.&nbsp;a. bei der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> und der [[Gravitationskonstante]]n <math>G</math> angestellt, letztere schon seit etwa 1900 in der [[Expansionstheorie]] der Erde. Der Atomphysiker [[George Gamow]] meint in seinem populärwissenschaftlichen Buch [[Mr. Tompkins|''Mr. Tompkins im Wunderland'']], dass eine Änderung von <math>c</math> deutliche Änderungen zur Folge hätte.

== Weblinks ==
* {{Alpha Centauri|151}}
* [http://www.joergresag.privat.t-online.de/mybkhtml/chap82.htm Die Planckeinheiten und deren Interpretation] von [[Jörg Resag]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Maßeinheit (Physik)]]
[[Kategorie:Größen- und Einheitensystem]]
[[Kategorie:Max Planck als Namensgeber]]