Quelltext der Seite Ladungserhaltung

[[Datei:Electrophorus cycle_de.png|mini|hochkant=2.4|Ladungserhaltung bei Benutzung eines [[Elektrophor]]s]]
'''Ladungserhaltung''' bezeichnet die physikalische Erfahrungstatsache, dass in jedem [[Abgeschlossenes System|abgeschlossenen System]] die Summe der vorhandenen [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladung]] konstant bleibt. Wenn geladene Teilchen erzeugt oder vernichtet werden, geschieht dies immer in gleichen Mengen mit entgegengesetztem [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]]. Dass einzelne Ladungen nicht erzeugt oder vernichtet werden können, folgt auch aus der Gültigkeit des Gaußschen Gesetzes zusammen mit der [[Relativitätstheorie]] (siehe [[Gaußsches Gesetz#Zeitunabhängigkeit|Gaußsches Gesetz]]). 

Entsprechende Ladungserhaltungssätze gibt es in verschiedenen [[Eichtheorie]]n, wie der [[Quantenchromodynamik]] (Erhaltung der [[Farbladung]], zugehörige Eichgruppe SU (3)) und der Eichtheorie der elektro-schwachen Wechselwirkung (Eichgruppe SU(2) x U(1)), die im [[Standardmodell]] der Elementarteilchenphysik die [[Quantenelektrodynamik]] verallgemeinert.

== Herleitung der Differentialgleichung für die Erhaltung der elektrischen Ladung ==

Wie bei der Massenerhaltung ([[Kontinuitätsgleichung]]) kann man auch die Ladungserhaltung als Differentialgleichung formulieren. Sie wird im Folgenden hergeleitet.

Gehen wir von einem zusammenhängenden Raumbereich mit dem Volumen (Volumeninhalt) <math>V</math> aus, der von einer Oberfläche <math>\mathbf{S}</math> umschlossen wird.

Der [[Elektrischer Strom|Strom]], der aus dem Raumbereich fließt, ist
:<math>I=- \iint\limits_S\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}</math>

wobei über die Oberfläche des Raumbereichs integriert wird und das Produkt als [[Skalarprodukt|inneres Produkt]] des [[elektrische Stromdichte|Stromdichtevektors]] mit dem Normalenvektor der Oberfläche zu verstehen ist.

Mit dem [[Gaußscher Integralsatz|Integralsatz von Gauß]] folgt daraus:
:<math>I=- \iiint\limits_V\left(\operatorname{div} \mathbf{j}\right)dV</math>.

Und da der Stromfluss aus dem Raumbereich gleich der zeitlichen Änderung der Ladung im Raumbereich ist, gilt:

:<math>\frac{dq} {dt} =- \iiint\limits_V\left(\operatorname{div} \mathbf{j}\right)dV</math>.
Ladung und Ladungsdichte sind über
:<math>q = \iiint\limits_V \rho dV</math>.
verbunden, so dass man erhält:

:<math> 0 = \iiint\limits_V \left( \frac{\partial \rho} {\partial t} + \operatorname{div} \mathbf{j} \right)dV</math>.
Da das für jeden zusammenhängenden Raumbereich gilt, triff das auch für den Grenzfall eines unendlich kleinen Raumbereichs, für einen [[Punkt (Geometrie)|Raumpunkt]], zu:

:<math> \frac{\partial \rho} {\partial t} + \operatorname{div} \mathbf{j} = 0</math>.

Sie ist von der gleichen mathematischen Form wie die aus der Massenerhaltung folgende [[Kontinuitätsgleichung]] (man hat nur Ladungsdichte durch Massendichte usw. zu ersetzen).

Die Erhaltung der elektrischen Ladung steckt auch implizit in den [[Maxwell-Gleichungen]]: 

:<math>\begin{align}
  \operatorname{div} \mathbf E &= \frac \rho {\varepsilon_0} \\
  \operatorname{rot} \mathbf B - \mu_0\,\varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} &= \mu_0\,\mathbf j.
\end{align}</math>
Weil die Divergenz einer Rotation verschwindet, folgt bei Bildung der Divergenz der zweiten Gleichung
:<math>\begin{align}
  - \mu_0\,\varepsilon_0\,\operatorname{div} \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} &= \mu_0\, \operatorname{div}  \mathbf{j}.
\end{align}</math>
Setzt man in diese Beziehung die zeitliche Ableitung der ersten Gleichung ein, so folgt
:<math> \frac{\partial \rho} {\partial t} + \operatorname{div} \mathbf{j} = 0</math>.

== Noether-Theorem ==
Nach dem [[Noether-Theorem|Noetherschen Theorems]] ist jeder Erhaltungssatz verbunden mit einer Symmetrieeigenschaft der jeweiligen Theorie, d. h. ihrer Invarianz unter [[Eichtransformation]]en. Im Falle der (Quanten-)Elektrodynamik ist das die Invarianz unter globalen Eichtransformationen (Eichgruppe U(1), Multiplikation mit einem komplexen Phasenfaktor) der Wellenfunktion geladener Teilchen:

:<math>\psi (x) \rightarrow  \exp{(i \alpha )} \psi (x)</math>.

==Sprachgebrauch==
Im scheinbaren Widerspruch zur Ladungserhaltung steht die Redeweise von einer ''Ladungserzeugung'' beispielsweise durch [[Reibungselektrizität|Reibung]]. Damit ist aber eine lokale Anhäufung von Ladungen eines Vorzeichens gemeint, also eine Ladungs''trennung'' und keine „Erzeugung“.

[[Kategorie:Physikalisches Grundkonzept]]
[[Kategorie:Elektrodynamik]]