Quelltext der Seite Kinematik

{{Dieser Artikel|beschreibt die Kinematik im Sinn der klassischen Mechanik. Die Kinematik als Begriff der Atom-, Kern- und Teilchenphysik wird in [[Kinematik (Teilchenprozesse)]] behandelt.}}
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! Strukturierung der Mechanik im [[Fachgebiet|Fachbereich]] [[Physik]]
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|{{Strukturierung Mechanik Kräfte}}
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! Strukturierung der Mechanik <br />im [[Fachgebiet|Fachbereich]] [[Technische Mechanik]]
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|{{Strukturierung Mechanik}}
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Die '''Kinematik''' ({{grcS|κίνημα|kinema|de=Bewegung}}) ist das Gebiet der [[Mechanik]], in dem die Bewegung von Körpern rein [[Geometrie|geometrisch]] mit den Größen [[Ort (Physik)|Ort]], [[Zeit]], [[Geschwindigkeit]] und [[Beschleunigung]] beschrieben wird. Unberücksichtigt bleiben die [[Kraft]], die [[Masse (Physik)|Masse]] der Körper und alle davon abgeleiteten Größen wie [[Impuls]] oder [[Energie]]. Es wird somit nur beschrieben, ''wie'' sich ein Körper bewegt, weshalb  Kinematik auch als '''Bewegungslehre''' bezeichnet wird. ''Warum'' sich ein Körper bewegt, nämlich unter dem Einfluss von [[Kraft|Kräften]], ist Gegenstand der [[Kinetik (Mechanik)|Kinetik]].

Die Kinetik selbst ist ein Teilgebiet der [[Dynamik (Physik)|Dynamik]], die in der im [[Fachgebiet|Fachbereich]] [[Physik]] gebrauchten Strukturierung der Mechanik neben der Kinematik eingereiht ist. In der im Fachgebiet [[Technische Mechanik]] benutzten Strukturierung wird  die Kinematik wie die Kinetik auch als Teilgebiet der Dynamik aufgefasst. Kinematik und Kinetik stehen dort gemeinsam auf der untersten Stufe.

Den Begriff der Kinematik prägte 1834 [[André-Marie Ampère]].<ref>{{Literatur
   | Autor=[[André-Marie Ampère]]
   | Titel=Essai sur la philosophie des sciences, ou Exposition analytique d'une classification naturelle de toutes les connaissances humaines
   | Verlag=Chez Bachelier
   | Jahr=1834
   | Ort=Paris
   | Sprache=fr
   | Online={{Google Buch| BuchID=j4QPAAAAQAAJ| Seite=52}}
   | Abruf=2017-12-14}}</ref>

== Bezugssysteme und Koordinatensysteme ==
[[Bezugssystem]]e bilden den physikalischen Rahmen, in dem eine Bewegung beschrieben wird. [[Koordinatensystem]]e sind mathematische Instrumente zu deren Beschreibung; sie finden aber auch außerhalb der Physik Anwendung. Die Lösung konkreter Problemstellungen beginnt in der Mechanik immer mit der Festlegung eines Bezugs- und Koordinatensystems.<ref>Torsten Fließbach: ''Mechanik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik I.'' 7. Auflage. Springer, 2015, S. 2–8.</ref>

=== Bezugssysteme ===
Die Größen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung hängen von der Wahl des [[Bezugssystem]]s ab.
* Ein [[Beobachter (Physik)|Beobachter]] an einem Bahnsteig nimmt einen einfahrenden Zug als bewegt wahr. Für einen Fahrgast des Zuges befindet sich der Zug jedoch in Ruhe.
* Von der Erde aus beobachtet scheint die Sonne um die unbewegte Erde zu kreisen. Vom Weltraum aus betrachtet ruht die Sonne, und die Erde [[Bewegung (Physik)|bewegt]] sich.
Die Beschreibung von Bewegungen ist grundsätzlich in allen Bezugssystemen möglich, die Beschreibung unterscheidet sich aber je nach Bezugssystem. Die [[Planetenbewegung]] ist beispielsweise mit einer ruhenden Sonne deutlich einfacher zu beschreiben.

Es wird unterschieden zwischen [[Ruhesystem]]en, bewegten und [[Beschleunigtes Bezugssystem|beschleunigten Bezugssystemen]], wobei die beschleunigten ein Spezialfall der bewegten Bezugssysteme sind. Besondere Bedeutung haben die [[Inertialsystem]]e. Dies sind Bezugssysteme, die entweder ruhen oder sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegen (keine Rotation und keine Beschleunigung), weil in Inertialsystemen das erste Newtonsche Gesetz gilt: Ein kräftefreier Körper bewegt sich dann mit konstanter Geschwindigkeit oder bleibt in Ruhe. In beschleunigten Bezugssystemen treten dagegen [[Scheinkraft|Scheinkräfte]] auf. Die Erde dreht sich um ihre eigene Achse und um die Sonne; sie bildet also kein Inertialsystem. Für die meisten praktischen Fragestellungen kann die Erde jedoch in guter Näherung als ruhend angesehen werden.

Im Rahmen der [[Klassische Mechanik|Klassischen Mechanik]] wird davon ausgegangen, dass jedem Körper zu jedem Zeitpunkt ein Ort zugewiesen werden kann. Im Rahmen der [[Quantenmechanik]] ist dies nicht mehr möglich. Dort können nur noch [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit]]en angegeben werden. Außerdem wird in der Klassischen Mechanik davon ausgegangen, dass Körper eine beliebig hohe Geschwindigkeit erreichen können und dass die Zeit an jedem Ort unabhängig von der Bewegung gleich schnell vergeht. Beides ist in der [[Relativitätstheorie]] nicht erfüllt.

=== Koordinatensysteme ===
[[Datei:Ebene polarkoordinaten.svg|mini|Polarkoordinaten]]
Koordinatensysteme dienen zur mathematischen Beschreibung der Bezugssysteme. Meistens wird ein [[kartesisches Koordinatensystem]] genutzt, das aus Achsen besteht, die senkrecht aufeinander stehen. Besonders geeignet ist es zur Beschreibung geradliniger Bewegungen. Für Drehbewegungen in einer Ebene sind [[Polarkoordinaten]] gut geeignet, vor allem wenn der Ursprung der Mittelpunkt der Drehbewegung ist. Im dreidimensionalen Raum werden [[Zylinderkoordinaten]] oder [[Kugelkoordinaten]] genutzt. Wenn die Bewegung eines Fahrzeuges aus Sicht des Fahrers beschrieben werden soll, wird das [[Begleitendes Dreibein|begleitende Dreibein]] (natürliche Koordinaten)<ref>Wolfgang Nolting: ''Grundkurs Theoretische Mechanik 1 – Klassische Mechanik'', Springer, 10. Auflage, 2013, S. 163.</ref> genutzt. Die verschiedenen Koordinatensysteme lassen sich umrechnen mit der [[Koordinatentransformation]]. Ein bestimmtes Bezugssystem kann also durch verschiedene Koordinatensysteme beschrieben werden.

== Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck ==
[[Ort (Physik)|Ort]], [[Geschwindigkeit]] und [[Beschleunigung]] sind die drei zentralen Größen der Kinematik. Sie sind über die Zeit miteinander verbunden: Eine zeitliche Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit und eine zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung. Die Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung beziehen sich zu jedem Zeitpunkt auf eine gerade Richtung, diese Richtung kann sich aber ständig ändern. Für Drehbewegungen gibt es stattdessen den Dreh[[winkel]], die [[Winkelgeschwindigkeit]] und die [[Winkelbeschleunigung]]. Alle diese Größen sind [[Vektor]]en. Sie haben nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung.

=== Ort ===
Für den Ort eines [[Punktmasse|punktförmigen Körpers]] sind zahlreiche Notationen gebräuchlich: Allgemein gebräuchlich ist <math>\vec r</math> für den [[Ortsvektor]]. Dieser zeigt vom Koordinatenursprung zum Punkt im Koordinatensystem an dem sich der Körper befindet. Bei kartesischen Koordinaten ist auch <math>x</math> üblich, manchmal steht <math>x</math> nur für die X-Komponente des Ortsvektors. Wenn die [[Bahnkurve]] des Punktes bekannt ist, dann wird der Ort auch durch den zurückgelegten Weg <math>s</math> entlang der Bahnkurve angegeben. Bei verallgemeinerten Koordinaten ist <math>q</math> gebräuchlich. Da sich der Ort eines Punktes mit der Zeit <math>t</math> ändert, wird auch <math>\vec r(t), x(t), s(t)</math> oder <math>\vec q(t)</math> verwendet.

Die Funktion die jedem Zeitpunkt einen Ort zuordnet ist das [[Weg-Zeit-Gesetz]]. In kartesischen Koordinaten kann diese durch die skalaren Funktionen <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> und <math>z(t)</math> dargestellt werden, die die Komponenten des Ortsvektors bilden:

:<math>
t \mapsto \vec r(t)
= \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{array}\right)
= x(t) \cdot \vec e_x + y(t) \cdot \vec e_y + z(t) \cdot \vec e_z
</math>
wobei die Einheitsvektoren <math>\{\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z\}</math> die [[Basis (Vektorraum)]] des kartesischen Koordinatensystems darstellen.

=== Geschwindigkeit ===
Die zeitliche Änderung des Ortes ist die Geschwindigkeit <math>v</math>. Wenn sich der Ort eines Körpers während eines Zeitraumes <math>\Delta t</math> um den Weg <math>\Delta s</math> ändert, dann hat er während dieses Zeitraumes die mittlere Geschwindigkeit
:<math>v = \frac {\Delta s}{\Delta t}</math>.
Die Geschwindigkeit <math>\vec v(t)</math> zu jedem beliebigen Zeitpunkt, die [[Momentangeschwindigkeit]], ergibt sich aus der [[infinitesimal]] kleinen Änderung <math>\mathrm d \vec r</math> des Ortsvektors während des infinitesimal kleinen Zeitraumes <math>\mathrm d t</math>:
:<math>\vec v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec r(t + \Delta t) - \vec r(t)}{\Delta t} = 
\frac{\mathrm d \vec{r}}{\mathrm d t} = \dot{\vec r} (t)
</math>.
Die Geschwindigkeit ist also die [[Differentialrechnung|Ableitung]] des Ortes nach der Zeit und wird mit einem Punkt über dem Ortsvektor gekennzeichnet. In kartesischen Koordinaten hat der Geschwindigkeitsvektor die Komponenten <math>v_x</math>, <math>v_y</math> und <math>v_z</math>, die jeweils die zeitliche Ableitung der Ortskoordinaten <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math> darstellen:
:<math>\vec v(t) = 
\left(\begin{array}{c} v_x(t) \\ v_y(t) \\ v_z(t) \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} \frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}(t) \\ \frac{\mathrm d y}{\mathrm d t}(t) \\ \frac{\mathrm d z}{\mathrm d t}(t) \end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c} \dot x(t) \\ \dot y(t) \\ \dot z(t) \end{array}\right)
</math>
Der Geschwindigkeitsvektor <math>\vec v = |\vec v| \cdot \vec e_\parallel</math> setzt sich zusammen aus seinem Betrag <math>|\vec v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}</math> und dem normierten Richtungsvektor <math>\vec e_\parallel</math>. Dieser Richtungsvektor stellt dabei einen momentanen [[Tangentialvektor]] zur Bahnkurve <math>\vec r(t)</math> des Teilchens dar.

=== Beschleunigung ===
Die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung <math>a</math>. Wenn sich die Geschwindigkeit eines Körpers während eines Zeitraumes <math>\Delta t</math> um den Wert <math>\Delta v</math> ändert, dann hat er die mittlere Beschleunigung
:<math>a = \frac{\Delta v}{\Delta t}</math>
Die Beschleunigung <math>\vec a(t)</math> zu jedem beliebigen Zeitpunkt ergibt sich aus der infinitesimal kleinen Änderung <math>\mathrm d \vec v</math> des Geschwindigkeitsvektors während des infinitesimal kleinen Zeitraumes <math>\mathrm d t</math>:
:<math>\vec a(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec v(t + \Delta t) - \vec v(t)}{\Delta t} = \frac{\mathrm d \vec{v}}{\mathrm d t} = \dot{\vec v} (t) = \ddot{\vec r}(t)</math>.
Die Beschleunigung ist also die erste [[Differentialrechnung|Ableitung]] der Geschwindigkeit nach der Zeit und wird mit einem Punkt über dem Geschwindigkeitsvektor gekennzeichnet, sowie die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit und wird mit zwei Punkten über dem Ortsvektor gekennzeichnet. In kartesischen Koordinaten wird die Beschleunigung durch ihre Komponenten <math>a_x(t)</math>, <math>a_y(t)</math> und <math>a_z(t)</math> dargestellt, die sich als zweite Zeitableitung der Ortskomponenten <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> und <math>z(t)</math> ergeben:
:<math>\vec a(t) = \left( \begin{array}{c} a_x(t) \\ a_y(t) \\ a_z(t) \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c} \frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm d t^2}(t) \\ \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm d t^2}(t) \\ \frac{\mathrm d^2 z}{\mathrm d t^2}(t) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \ddot x(t) \\ \ddot y(t) \\ \ddot z(t) \end{array} \right)</math>
Der Beschleunigungsvektor <math>\vec a = \vec a_\parallel + \vec a_\perp</math> kann in zwei Komponenten aufgetrennt werden, die jeweils tangential und normal zur Bahnkurve gerichtet sind. Die [[Tangentialbeschleunigung]] <math>\vec a_\parallel</math> beschreibt dabei die zeitliche Änderung der Geschwindigkeitsbetrages <math>|\vec v|</math> und bildet eine Tangente zur Bahnkurve:
:<math>\vec a_\parallel = \frac{\mathrm d |\vec v|}{\mathrm dt} \cdot \vec e_\parallel</math>
Die [[Normalbeschleunigung]] <math>\vec a_\perp</math> hingegen beschreibt die zeitliche Änderung der Geschwindigkeitsrichtung <math>\vec e_\parallel</math> und liefert ein Maß für die [[Krümmung]] der Bahnkurve:
:<math>\vec a_\perp = |\vec v| \cdot \frac{\mathrm d \vec e_\parallel}{\mathrm d t} = \frac{|\vec v|^2}{R} \cdot \vec e_\perp</math>
wobei <math>\vec e_\perp</math> ein normierter Normalenvektor der Bahnkurve ist und <math>R</math> den [[Krümmungsradius]] der Bahnkurve bezeichnet.

=== Ruck ===
Die zeitliche Änderung der Beschleunigung ist der [[Ruck]] <math>j</math>. Wenn sich die Beschleunigung eines punktförmigen Körpers während eines Zeitraumes <math>\Delta t</math> um den Wert <math>\Delta a</math> ändert, dann hat er den mittleren Ruck
:<math>j = \frac{\Delta a}{\Delta t}</math>
Der Ruck <math>\vec j(t)</math> zu jedem beliebigen Zeitpunkt ergibt sich aus der infinitesimal kleinen Änderung <math>\mathrm d \vec a</math> des Beschleunigungsvektors während des infinitesimal kleinen Zeitraumes <math>\mathrm d t</math>:
:<math>\vec j(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\vec a(t + \Delta t) - \vec a(t)}{\Delta t} = \frac{\mathrm d \vec{a}}{\mathrm d t} = \dot{\vec a} (t) =\ddot{\vec v} (t) = \overset{...}{\vec r}(t)</math>.
Der Ruck ist also die erste [[Differentialrechnung|Ableitung]] der Beschleunigung nach der Zeit und wird mit zwei Punkten über dem Geschwindigkeitsvektor gekennzeichnet, sowie die dritte Ableitung des Ortes nach der Zeit und wird mit drei Punkten über dem Ortsvektor gekennzeichnet. In kartesischen Koordinaten wird der Ruck durch die Komponenten <math>j_x(t)</math>, <math>j_y(t)</math> und <math>j_z(t)</math> dargestellt:
:<math>\vec j(t) = \left( \begin{array}{c} j_x(t) \\ j_y(t) \\ j_z(t) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \dot a_x(t) \\ \dot a_y(t) \\ \dot a_z(t) \end{array} \right)</math>

Nach dieser Definition, die hauptsächlich in der Physik benutzt wird, wäre eine [[gleichförmige Kreisbewegung]] eine Bewegung mit konstantem Ruck. Im allgemeinen Sprachgebrauch und bei Anwendungen in der Technik ist das aber eine ruckfreie Bewegung. Der Beschleunigungsvektor wird daher in ein körperfestes Koordinatensystem [[Basiswechsel (Vektorraum)|transformiert]] und die [[Zeitableitung#Relative Zeitableitung|Ableitung]] in diesem System durchgeführt. Man erhält für den Ruck im körperfesten System:

:<math>\vec {j}'(t) =  \frac{\mathrm d' \vec{a}'}{\mathrm d t}</math>,

mit <math>\vec a'=(T^I_{K'})^{-1} \cdot \vec a</math> und <math>T^I_{K'}</math> der Transformationsmatrix vom körperfesten System ins Inertialsystem.

In dieser Definition ist z.&nbsp;B. der ''Querruck'', der bei [[Schienenfahrzeug]]en eine große Rolle spielt, proportional zur [[Krümmung]]sänderung. Bei den verwendeten [[Trassierungselement]]en ist diese analytisch als Funktion des [[Weg (Physik)|Wegs]] gegeben und kann für eine konkrete Geschwindigkeit in den Querruck umgerechnet werden.

== Bewegungsarten, Freiheitsgrad und Zwangsbedingungen {{Anker|Freie Bewegung|Gebundene Bewegung}} ==
Bewegungen lassen sich nach zahlreichen Kriterien einteilen.<ref>Wolfgang Nolting: ''Grundkurs Theoretische Mechanik 2 – Analytische Mechanik'', Springer, 9. Auflage, 2014, S. 3 f.</ref> Eine Sonderfall der Bewegung ist der Zustand der Ruhe mit Geschwindigkeit null. Grundlegend ist die Unterteilung in die
* Bewegung entlang einer [[Gerade]]n, die auch Verschiebung oder [[Translation (Physik)|Translation]] genannt wird und in die
* [[Drehung]], [[Kreisbewegung]] oder [[Rotation (Physik)|Rotation]].

Nach der Beschleunigung wird unterschieden zwischen
* [[Gleichförmige Bewegung]] (auch gleichförmige Drehbewegung) mit einer Beschleunigung <math>a = 0</math> und einer konstanten Geschwindigkeit. Bei der Drehbewegung ist der Betrag der Geschwindigkeit konstant und der Vektor der [[Winkelgeschwindigkeit]] behält seine Richtung bei, während sich die Richtung ständig ändert.
[[Datei:Gleichf beschl Bewegung.svg|mini|Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsweg null. Im Diagramm links ist vertikal der Weg aufgetragen, im mittleren Diagram die Geschwindigkeit und im rechten Diagramm die Beschleunigung; jeweils als Funktion der Zeit.]]
* Die [[Gleichmäßig beschleunigte Bewegung]] mit einer konstanten Beschleunigung <math>a = konst.</math> Die Geschwindigkeit nimmt mit einer konstanten Rate zu. Bei negativer Beschleunigung nimmt sie ab. Dazu zählt der [[Freier Fall|freie Fall]] bei dem konstant die [[Erdbeschleunigung]] wirkt. Der [[Schräger Wurf|schräge Wurf]] ist eine Kombination aus gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung: In senkrechter Richtung wirkt konstant die Erdbeschleunigung, während in waagrechter Richtung keine Beschleunigung wirkt (sofern der Luftwiderstand außer Acht gelassen wird).

Je nachdem ob der betrachtete Körper jeden beliebigen Ort erreichen kann oder nicht, wird unterschieden in die
* '''Freie Bewegung''',<!--Weiterleitung hierher fett, gemäß [[WP:WL]]--> bei der der Körper nicht eingeschränkt wird und sich frei bewegen kann, wie bei einem Flugzeug und die
* '''Gebundene Bewegung'''<!--Weiterleitung hierher fett, gemäß [[WP:WL]]--> bei der der Körper eingeschränkt ist durch sogenannte [[Zwangsbedingung]]en. Ein Zug kann sich nur entlang der Gleise bewegen.

Die Bewegungsmöglichkeiten eines Körpers werden als [[Freiheitsgrad]] bezeichnet. Ein punktförmiger Körper, der sich frei im dreidimensionalen Raum bewegen kann, hat drei Freiheitsgrade. Bewegt er sich in einer Ebene, hat er zwei Freiheitsgrade. Und bei der Bewegung entlang einer Kurve oder Geraden nur einen. Die eingeschränkten Freiheitsgrade werden als ''Bindung'' bezeichnet. Ein ausgedehnter, [[starrer Körper]] kann sich auch um körpereigene Achsen drehen, ohne dass sich sein [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] ändert. Er hat drei weitere Freiheitsgrade, da in jeder Dimension eine Drehung möglich ist. Bei deformierbaren Körpern wie biegsamen Balken, Flüssigkeiten und Gasen gibt es unendlich viele Freiheitsgrade.

== Relativbewegung ==
Die Bewegung von Punkten wird häufig in [[Beschleunigtes Bezugssystem|beschleunigten Bezugssystemen]] beschrieben, die selbst gegenüber einem anderen System beschleunigt sind.

Um zwischen den Größen eines Objektes (Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung) in zwei Bezugssystemen zu unterscheiden, wird für die Größen im Basissystem die normale Notation verwendet und für das beschleunigte Bezugssystem jeweils der gleiche Buchstabe mit einem Apostroph (engl. ''prime''). Letzteres wird dann auch als „gestrichenes Bezugssystem“ bezeichnet, und alle darauf bezogenen Größen erhalten zur sprachlichen Unterscheidung den Zusatz „Relativ-“.
{| class="wikitable"
!|| Bedeutung
|-
|<math>\vec{r}</math>||Position des Objektes in S (Basissystem).
|-
|<math>\vec{r}{\;'}</math>||Relativposition des Objektes in S'.
|-
|<math>\vec{v}=\dot{\vec{r}}</math>||Geschwindigkeit des Objektes in S
|-
|<math>\vec{v}{\;'}</math>||Relativgeschwindigkeit des Objektes in S'
|-
|<math>\vec{a}=\dot{\vec{v}}</math>||Beschleunigung des Objektes in S
|-
|<math>\vec{a}{\;'}</math>||Relativbeschleunigung des Objektes in S'
|-
|<math>\vec{r}_O</math>||Position des Ursprungs von S' in S
|-
|<math>\vec{v}_O=\dot{\vec{r}}_O</math>||Geschwindigkeit des Ursprungs von S' in S
|-
|<math>\vec{a}_O=\dot{\vec{v}}_O</math>||Beschleunigung des Ursprungs von S' in S
|-
|<math>\vec{\omega}</math>||[[Winkelgeschwindigkeit]] des Systems S' in S
|-
|<math>\vec{\alpha}=\dot{\vec{\omega}}</math>||[[Winkelbeschleunigung]] des Systems S' in S
|}

Bei der Ableitung eines Vektors, der in einem rotierenden Bezugssystem gegeben ist, muss die Winkelgeschwindigkeit <math>\vec \omega</math> und die Winkelbeschleunigung <math>\dot {\vec \omega}</math> des Bezugssystems berücksichtigt werden. Die kinematischen Beziehungen lauten:

{| class="wikitable"
! ||kinematische Größen in S
|-
|Position||<math>\vec{r}=\vec{r}_{O}+\vec{r}{\;'}</math>
|-
|Geschwindigkeit||<math>\vec{v}=\frac {d \vec r}{d t}=\vec{v}_{O}+\vec \omega \times \vec{r}{\;'}+ \vec{v}{\;'}</math>
|-
|Beschleunigung||<math>\vec a =\frac {d \vec v}{d t}= \vec a_O + \vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}{\;'}) + \dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'} + 2 \, \vec \omega \times \vec {v}{\;'}  + \vec {a}{\;'} </math>
|}

Falls S ein [[Inertialsystem]] ist, kann die ''Absolutbeschleunigung'' in die Newtonsche Bewegungsgleichung eingesetzt werden:

:<math>m \vec{a}=\vec{F}</math>

Aufgelöst nach dem Term mit der Relativbeschleunigung <math> m \vec {a}{\;'}</math> erhält man die Bewegungsgleichung für die Relativbewegung.

== Kinematik des starren Körpers ==
Der Vektor <math>r_P</math> zum Punkt P eines starren Körpers ist in einem körperfesten Bezugssystem konstant. Die Bewegung dieses Punkts in einem Basissystem berechnet sich zu:

{| class="wikitable"
! ||kinematische Größen in S
|-
|Position||<math>\vec{r}=\vec{r}_{O}+\vec r_P</math>
|-
|Geschwindigkeit||<math>\vec{v}=\frac {d \vec r}{d t}=\vec{v}_{O}+\vec \omega \times \vec{r}_P</math>
|-
|Beschleunigung||<math>\vec a =\frac {d \vec v}{d t}= \vec a_O + \vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}_P) + \dot {\vec \omega} \times \vec {r}_P</math>
|}

== Absolutkinematik ==
Die Bewegung starrer Körper, die durch [[Gelenk (Technik)|Gelenke]] miteinander verbunden sind, ist die Grundlage zur Analyse von Mehrkörpersystemen. Hierzu werden Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung des starren Körpers j relativ zum Körper i betrachtet. Die Relativbewegung kann durch die Gelenk-Koordinaten ([[Generalisierte Koordinate|verallgemeinerte Koordinaten]]) und deren Ableitungen ausgedrückt werden. Die Bewegungsgrößen des Körpers i im Inertialsystem werden als bekannt vorausgesetzt.<ref name="Schnelle" />

:<math>\vec{r}_j=\vec{r}_i + \vec{r}_{i,j}</math>
:<math>\vec{v}_j=\vec{v}_i + \vec{\omega}_i \times{\vec{r}_{i,j}} + \vec{v}_{i,j}</math>
:<math>\vec{a}_j=\vec{a}_i + \vec{\omega}_i \times(\vec{\omega}_i \times\vec{r}_{i,j})+2\vec{\omega}_i\times\vec{v}_{i,j}+\vec{\alpha}_i\times\vec{r}_{i,j}+\vec{a}_{i,j}</math>
:<math>\vec{\omega}_j=\vec{\omega}_i+\vec{\omega}_{i,j}</math>
:<math>\vec{\alpha}_j=\vec{\alpha}_i+\vec{\omega}_i \times\vec{\omega}_{i,j}+\vec{\alpha}_{i,j}</math>

Mit:
: <math>\vec{r}_i, \vec{r}_j</math>: Ortsvektoren zu den Körpern i, j
: <math>\vec{r}_{i,j}</math>: Vektor vom Körper i zum Körper j
: <math>\vec{v}_{i}, \vec{v}_{j}</math>: Absolutgeschwindigkeiten der Körper i, j
: <math>\vec{a}_{i}, \vec{a}_{j}</math>: Absolutbeschleunigungen der Körper i, j
: <math>\vec{v}_{i,j}</math>: Geschwindigkeit des Körpers j relativ zum Körper i
: <math>\vec{\omega}_{i}, \vec{\omega}_{j}</math>: absolute Winkelgeschwindigkeiten der Körper i, j
: <math>\vec{\omega}_{i,j}</math>: Winkelgeschwindigkeit des Körpers j relativ zum Körper i
: <math>\vec{\alpha}_{i}, \vec{\alpha}_{j}</math>: absolute Winkelbeschleunigungen der Körper i, j
: <math>\vec{\alpha}_{i,j}</math>: Winkelbeschleunigung des Körpers j relativ zum Körper i

== Anwendungen ==
Bei [[Mehrkörpersystem]]en ist die Untersuchung räumlicher Mechanismen Gegenstand der Kinematik. Diese Mechanismen sind häufig aus [[Gelenk (Technik)|Gelenken]] und Verbindungen aufgebaut. Beispiele sind [[Roboter]], [[kinematische Kette]]n und [[Radaufhängung]]en in der Automobilindustrie. Mit kinematischen Methoden (in der Robotik siehe [[Direkte Kinematik]]) wird die Anzahl der Freiheitsgrade ermittelt und Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung aller Körper berechnet.

== Literatur ==
* Jens Wittenburg: ''Kinematics. Theory and Application.'' Springer, 2016.

== Weblinks ==
{{Wikibooks}}
{{Wikiversity|Kurs:Physik für Techniker/Kinematik|Kinematik}}
* {{DNB-Portal|4030664-1}}
* {{Webarchiv | url=http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/kreisel/node1.html | wayback=20100212014905|text=Die Kinematik des starren Körpers}}
* [http://www.hochschule-bochum.de/fileadmin/media/fb_m/Institute/Mechanik/Zwiers/TM2/TM2_02_Kinematik_SK_handout.pdf ''Kinematik des starren Körpers''. U. Zwiers (PDF-Datei 354&nbsp;kB)]
* [http://www.grundstudium.info/animation/node19.php Kinematik und Computeranimation]
* [http://kmoddl.library.cornell.edu/bib.php?sort=author&type=1 Digitalisierte Bücher] aus der Geschichte der Kinematik
* [http://www.lern-online.net/physik/mechanik/kinematik/ Kinematik auf Lern-Online.net]

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Schnelle">Klaus-Peter Schnelle: ''Simulationsmodelle für die Fahrdynamik von Personenkraftwagen unter Berücksichtigung der nichtlinearen Fahrwerkskinematik.'' VDI-Verlag, Düsseldorf 1990, ISBN 3-18-144612-2. (Fortschrittsberichte VDI Nr. 146)</ref>
</references>

{{Normdaten|TYP=s|GND=4030664-1|LCCN=sh85072381|NDL=00574002}}

[[Kategorie:Kinematik| ]]
[[Kategorie:Biomechanik]]