Quelltext der Seite Impulsoperator

Der '''Impulsoperator''' <math>\hat{p}</math>  ist in der [[Quantenmechanik]] der [[Operator (Mathematik)|Operator]] zur [[Impuls]]<nowiki/>messung von [[Teilchen]]. In der [[Ortsdarstellung]] ist der Impulsoperator in einer [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] gegeben durch:

:<math>\hat{p}_x = - \mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\mathrm \hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}</math>

Dabei bezeichnet
* <math>\mathrm i</math> die [[Imaginäre Einheit]]
* <math>\hbar</math> die [[Planck-Konstante#Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum|reduzierte Planck-Konstante]] und
* <math>\frac{\partial}{\partial x}</math> die [[partielle Ableitung]] in Richtung der Ortskoordinate <math>x</math>.
Mit dem [[Nabla-Operator]] <math>\nabla</math> erhält man in drei Dimensionen den [[Vektor]]:

:<math>\hat{\mathbf{p}} = - \mathrm i \hbar \nabla</math>

Der physikalische [[Quantenmechanischer Zustand|Zustand]] <math>\Psi\,</math> eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines [[Hilbertraum]]es <math>\mathcal H</math> gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der [[Bra-Ket|Bra-Ket-Notation]] durch den Vektor <math>|\Psi \rangle</math> beschrieben. Die [[Observable]]n werden durch [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierte Operatoren]] auf <math>\mathcal H</math> dargestellt. Speziell ist der Impuls-Operator die Zusammenfassung der drei Observablen <math>\hat{\mathbf{p}} = (\hat{p}_1,\hat{p}_2,\hat{p}_3)</math>, so dass

:<math>E(\hat{p}_j) = \langle \Psi|\hat{p}_j \, |\Psi \rangle \, \quad j = 1, 2, 3</math>

der Mittelwert ([[Erwartungswert]]) der Messergebnisse der ''j''-ten Komponente des Impulses des Teilchens im Zustand <math>\Psi</math> ist.

== Definition und Eigenschaften ==
* Bei der [[Quantisierung_(Physik) #Quantenmechanik (ab 1925)|kanonischen Quantisierung]] deutet man die [[Phasenraum]]<nowiki/>koordinaten, also den Ort <math>x</math> und den Impuls <math>p</math> des klassischen Systems, als selbstadjungierte Operatoren eines Hilbertraums und fordert für diese [[Ortsoperator|Orts-]] und Impulsoperatoren die [[kanonische Vertauschungsrelation|kanonischen Vertauschungsrelationen]]:

::<math> [\hat{x}_i, \hat{p}_j] = \mathrm{i} \, \hbar \, \delta_{ij} \, \quad
[\hat{x}_i, \hat{x}_j] = 0 = [\hat{p}_i, \hat{p}_j]\ ,\quad i, j \in \{1, 2, 3\}</math> 

:in Analogie zu den [[Poisson-Klammer]]n der [[Hamiltonsche Mechanik|Hamiltonschen Formulierung]]

:::<math>\{ x_i, p_j \} = \delta_{ij} \, \quad
\{ x_i, x_j \} = 0 = \{ p_i, p_j \} \, .</math>

:Der Faktor <math>\hbar</math> ist aus [[Dimensionsanalyse|Dimensionsgründen]] erforderlich, denn Ort mal Impuls hat die Dimension eines [[Drehimpuls]]es oder einer [[Wirkung (Physik)|Wirkung]]. Die imaginäre Einheit <math>\rm i</math> muss auftreten, da <math>\hat{x}_i</math> und <math>\hat{p}_j</math> [[selbstadjungiert]] sind und ihr [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] daher bei [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] sein Vorzeichen wechselt. 
* Aus den kanonischen Vertauschungsrelationen folgt, dass die drei Komponenten des Impulses gemeinsam messbar sind und dass ihr [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] (Bereich der möglichen ''Messwerte'') aus dem gesamten Raum <math>\mathbb{R}^3</math> besteht. Die möglichen Impulse sind also nicht quantisiert, sondern [[Kontinuum (Physik)|kontinuierlich]].
* Die '''Ortsdarstellung''' ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum <math>\mathcal H=L^2(\R^3; \Complex)</math> ist der Raum der [[quadratintegrierbar]]en, [[komplexe Funktion|komplexen Funktionen]] des [[Ortsraum]]s <math>\R^3;</math> jeder Zustand <math>\Psi</math> ist durch eine Orts[[wellenfunktion]] <math>\psi(\mathbf{x})</math> gegeben. Die Ortsoperatoren <math>\hat{\mathbf{x}} = (\hat{x}_1, \hat{x}_2, \hat{x}_3)</math> sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d.&nbsp;h. der Ortsoperator <math>\hat{x}_i</math> wirkt auf Ortswellenfunktionen durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion <math>x_i</math>:

::<math>(\hat{x}_i\, \psi)(\mathbf{x}) = x_i \, \psi(\mathbf{x}) \, .</math>

:Der mathematische ''Satz von Stone und von Neumann'' besagt dann, dass bei geeigneter Wahl von Phasen der Impulsoperator, der in den kanonischen Vertauschungsrelationen auftritt, auf Ortswellenfunktionen als [[Differentialoperator]] wirkt:

::<math>(\hat{p}_j\psi)(\mathbf{x}) = -{\rm i} \, \hbar \, \left( \frac{\partial}{\partial x_j}\psi \right)(\mathbf{x}) \, .</math>

:Sein Erwartungswert ist:

::<math>E(\hat{p}_j) =  \langle \Psi| \hat{p}_j\, | \Psi \rangle =
\int \overline{\psi(\mathbf{x})} \, \left( -\mathrm{i} \, \hbar \frac{\partial}{\partial x_j}\psi(\mathbf{x}) \right) \, \mathrm d^3 x \, .</math> 
* In der '''Impulsdarstellung''' wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf quadratintegrierbare Impulswellenfunktionen <math>\tilde{\psi}(\mathbf{p})</math>:

::<math>(\hat{p}_j\,\tilde{\psi})(\mathbf{p})=p_j\,\tilde{\psi}(\mathbf{p})</math>

:und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator:

::<math>(\hat{x}_i\,\tilde{\psi})(\mathbf{p}) = \mathrm{i}\, \hbar\,\left(\frac{\partial}
{\partial p_i}\tilde{\psi}\right)(\mathbf{p})\,.</math>

* Die Orts- und Impulsoperatoren sind [[Linearkombination]]en von [[Erzeugungs- und Vernichtungsoperator]]en: 

::<math>\hat{x}_i = l_i \frac{a_i + a_i^{\dagger}}{\sqrt{2}} \, \quad \hat{p}_j = \frac{\hbar}{l_j} \frac{a_j - a_j^{\dagger}}{\sqrt{2}\, \mathrm{i}} \, .</math>

:Dabei sind <math>l_1, l_2, l_3</math> frei wählbare Längen (größer Null) und die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren genügen den kanonischen Vertauschungsrelationen:

::<math>[a_i, a^\dagger_j] = \delta_{ij} \, \quad [a_i, a_j] = 0 = [a_i^\dagger, a_j^\dagger] \, \quad i, j \in\{1, 2, 3\} \, .</math>

== Warum ist der Impulsoperator in Ortsdarstellung ein Differentialoperator? ==
Nach dem [[Noether-Theorem]] gehört zu jeder kontinuierlichen [[Symmetrie (Physik)|Symmetrie]] der [[Wirkung (Physik)|Wirkung]] eine [[Erhaltungsgröße]]. Umgekehrt impliziert jede Erhaltungsgröße die Existenz einer (mindestens infinitesimalen) Symmetrie der Wirkung. Beispielsweise ist der Impuls genau dann erhalten, wenn die Wirkung translationsinvariant ist. In der Hamiltonschen Formulierung erzeugt die Erhaltungsgröße die Symmetrietransformation im Phasenraum durch ihre Poisson-Klammer, der Impuls erzeugt Verschiebungen.

Auf eine Wellenfunktion <math>\psi</math> angewendet, ergibt jede Verschiebung um <math>a</math> die verschobene Funktion <math>(T_a\,\psi)</math>, die an jeder Stelle <math>x</math> den Wert hat, den <math>\psi</math> am Urbild <math>x-a</math> hatte,
: <math>(T_a\,\psi)(x)=\psi(x-a)=\sum_{n=0}^\infty{\frac{1}{n!}\left(-a\frac{\partial}{\partial x} \right)^n}\psi=\exp\left(-a\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi</math> (also: über [[Taylorreihe]] zu einer formalen Exponentialfunktion).
Der infinitesimale [[Stark_stetige_Halbgruppe#Infinitesimaler_Erzeuger|Erzeuger]] dieser einparametrigen Schar von Verschiebungen definiert also bis auf einen Faktor <math>-\mathrm{i}/\hbar</math> den Impuls, das heißt, der Impuls <math>\hat{p}_x</math> erfüllt definitionsgemäß 
: <math>T_a\,\psi=\exp\left(-a\frac{\partial}{\partial x}\right)\psi=\exp{\left(-{\rm i}\,a\frac{\hat{p}_x}{\hbar}\right)}\,\psi\,.</math>
Dabei tritt der Faktor <math>\hbar</math> aus Dimensionsgründen auf, denn das Produkt von Impuls und Ort hat die Dimension eines Drehimpulses oder einer Wirkung. Die [[imaginäre Einheit]] <math>\mathrm i</math> ist erforderlich, da <math>T_a</math> ein [[unitärer Operator]] ist und der Impuls [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungiert]] sein soll. Leitet man die Gleichung 
:<math>\left(\exp{\left(-{\rm i}\,\frac{\hat{p}_j\, a^j}{\hbar}\right)}\, \psi\right)(x) = \psi(x-a)</math> 
nach <math>a^j</math> bei <math>a=0</math> ab, so ergibt sich der Impulsoperator als Ableitung nach dem Ort,
: <math>(\hat{p}_j\,\psi)(x) = \left.\mathrm{i}\, \hbar\,\frac{\partial}{\partial a^j}\right|_{a=0}
\psi(x-a)= -\mathrm{i}\,\hbar\frac{\partial}{\partial x^j} \psi(x)\,.</math>

Dass der Impulsoperator im Ortsraum diese Form annimmt, lässt sich auch ohne die Kenntnis des zugehörigen unitären Operators <math>T_a</math> wie folgt aus dem Noether-Theorem ablesen:
Man rekonstruiert zunächst aus der Schrödingergleichung die zugehörige [[Lagrange-Dichte]] und bestimmt dann explizit den bei einer infinitesimalen Verschiebung der Wellenfunktion erhaltenen Erwartungswert.

== Literatur ==
* [[Torsten Fließbach]]: ''Quantenmechanik: Lehrbuch zur Theoretischen Physik III.'' Spektrum Akademischer Verlag, 2008, ISBN 978-3-8274-2020-6.
* [[Richard Feynman]]: ''Feynman Vorlesungen über Physik, Bd. 3, Quantenmechanik.'' Oldenbourg, 2007, ISBN 978-3-486-58109-6.

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenchemie]]