Quelltext der Seite Gnomonische Projektion

[[File:Gnomonic.png|thumb|right|Gnomonische Projektion auf eine Ebene: [[Großkreis]]e werden zu Geraden]]
Eine '''gnomonische Projektion''' ist eine [[Zentralprojektion]], bei der das Projektionszentrum im Mittelpunkt des abzubildenden Körpers liegt.

Die gnomonische Projektion wird verwendet:
* in der [[Kartografie]] mit Projektionszentrum im Erdmittelpunkt für [[Kartennetzentwurf|Kartennetzentwürfe]], vor allem für gnomonische [[Azimutalprojektion]]en, bei denen die Projektionsfläche eine Ebene ist (s.&nbsp;u.)
* in der [[Kristallografie]] mit Projektionszentrum im Mittelpunkt des [[Kristall]]s.
Die Art der [[Projektionsfläche|Projektions-]] bzw. [[Kartennetzentwurf #Klassifikation nach Abbildungsflächen|Abbildungsfläche]] ist prinzipiell beliebig; [[antike]]s Beispiel ist die Innenfläche einer Kugel bei einer der ältesten [[Sonnenuhr]]en, der [[Skaphe]]. Je nach Geometrie der Abbildungsfläche wird die Abbildung jedoch zu allen oder zu einzelnen Rändern hin stark [[Verzerrung (Kartografie)|verzerrt]]; für [[topografische Karte]]n ist die gnomonische Projektion deshalb ''nicht'' geeignet.

== Etymologie und Historisches ==
Der Begriff ''gnomonische Projektion'' leitet sich ab von [[Gnomon]] (γνόμον), dem [[Griechische Sprache|griechischen]] Wort für den [[Schattenstab]] einer [[Sonnenuhr #Funktion einer Sonnenuhr|Sonnenuhr]], bei der die [[Himmelssphäre]] mit der [[Sonnenstand|Sonne]] zentral aus der Gnomonspitze ([[Nodus (Sonnenuhr)|Nodus]]) auf das [[Sonnenuhr #Die_Zifferblätter|Zifferblatt]] abgebildet wird.

Mit der Spitze des Gnomons als schattenwerfendes Projektionszentrum wurde z.&nbsp;B. bereits in der Antike der [[Stand der Sonne]] in einer Sonnenuhr abgebildet und zur Anzeige der [[Tageszeit]] benutzt. Eine Konstruktionsvorschrift für eine Sonnenuhr, die einen Gnomon enthält, ist als [[Analemma #Das Analemma des Vitruv|Das Analemma des Vitruv]] überliefert. 

== Gnomonische Azimutalprojektion ==
[[Bild:Konstruktion_polstaendige_gnomonische_Azimutalprojektion.svg|thumb|right|Konstruktion einer gnomonischen Azimutalprojektion in normaler Lage, projizierte Elemente mit einem Strich bezeichnet]]
Gnomonische Azimutalprojektionen sind „geradentreu“, d.&nbsp;h. alle [[Großkreis]]e auf der Erdoberfläche und damit alle [[Orthodrome]]n werden als Geraden abgebildet. Will man von einem Punkt auf kürzestem Weg zu einem anderen navigieren, so kann man daher in einer Karte mit gnomonischer Azimutalprojektion die Wegstrecke durch Verbinden der Punkte mit einer geraden Linie ermitteln. Deshalb werden diese Karten zusammen mit [[winkeltreu]]en Karten in der [[Navigation]] zur See und in der Luft sowie in der [[Funknavigation]] angewendet.

Die Kristallografie nutzt aus, dass Pole [[tautozonal]]er Flächen in gnomonischer Azimutalprojektion auf Geraden liegen.

Die gnomonische Azimutalprojektion erlaubt die Abbildung des am Projektionszentrum beginnenden offenen [[Halbraum]]es, in dem die Abbildungsebene liegt. Ein in der Begrenzung des Halbraumes liegender Großkreis wird ins Unendliche projiziert (z.&nbsp;B. in der Abb. rechts der [[Äquator]]). Aufgrund Verzerrungen, die mit steigender Entfernung vom Mittelpunkt der Projektion stark zunehmen, beschränkt man die Projektion meist auf einen Winkelbereich von höchstens&nbsp;60° um die Mittelachse.

== Gnomonische Projektionen in der Kartografie ==
=== Normale (polare) Lage ===
Ist die Projektionsebene einer gnomonischen Azimutalprojektion in ''normaler Lage'', d.&nbsp;h., sie berührt die Erde in einem [[Pol (Geographie)|Pol]], so werden die [[Breitenkreis]]e als [[konzentrisch]]e Kreise um den Pol und die [[Meridian (Geographie)|Meridian]]e als radiale [[Gerade]]n abgebildet. Der Kartennetzentwurf lässt sich mit Hilfe von [[Zirkel und Lineal]] ausführen.

Die [[Abbildungsgleichung (Geometrie)|Abbildungsgleichung]]en in dieser Lage lauten für die [[Polarkoordinaten]] der Karte:

:<math>\alpha = \lambda </math>
:<math>r = m \cdot \tan \delta</math>

mit
* [[Azimut]] <math>\alpha</math>
* [[geographische Länge|geographischer Länge]] <math>\lambda</math>
* [[Maßstabsfaktor]] <math>m</math>
* Radius <math>r</math>
* Breiten[[komplement]] <math>\delta</math> =&nbsp;90°&nbsp;−&nbsp;[[geographische Breite]].

=== Transversale Lage ===
Der Berührungspunkt liegt auf dem Äquator. Die Meridiane werden als parallele Geraden abgebildet, die Breitenkreise als [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]]. Der Äquator wird zu einer Geraden, welche die Meridiane senkrecht schneidet.

=== Schiefe Lage ===
Die Karte berührt einen beliebigen Punkt der Erdoberfläche (hier Japan). Sie bildet die Meridiane ebenfalls als [[Geradenbündel (Elementargeometrie)|Geradenbündel]] ab, die Breitenkreise werden zu [[Kegelschnitt]]en.

<div><gallery>
Datei:Gnomonic Projection Polar.jpg|Normale Lage:<br />Nordpol
Datei:Gnomonic Projection Transversal.jpg|Transversale Lage: <br />Äquator (0° geogr. Länge)
Datei:Gnomonic Projection Japan.jpg|Schiefe Lage: <br />Japan
</gallery></div>

== Veranschaulichung ==
Wenn man einen [[Globus]] von innen beleuchtet (mit nahezu punktförmiger Lichtquelle im Zentrum des Globus), so dass die Globusoberfläche an eine ebene Wand oder die Zimmerdecke projiziert wird, so entspricht dieses Abbild an der Wand der gnomonischen Azimutalprojektion.

Wenn die Globusachse senkrecht zur Decke steht, bilden sich alle [[Parallelkreis]]e als [[konzentrisch]]e Kreise ab, bei schräger Lage als [[Ellipse]]n und [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbel]]n; die [[Meridian (Geographie)|Meridian]]e bleiben hingegen gerade.

== Weblinks ==
* Institut für diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien: [http://www.geometrie.tuwien.ac.at/karto/norm0014.html gnomonische Azimutalprojektion der Erde] – interaktiv 
* Institut für diskrete Mathematik und Geometrie der TU Wien: [http://www.geometrie.tuwien.ac.at/karto/norm0008.html gnomonische Kegelprojektion der Erde] – interaktiv
* Böhm Wanderkarten: [http://www.boehmwanderkarten.de/kartographie/is_netze_azi_gnomonisch.html Gnomonische Azimutalprojektion] – u.&thinsp;a.  in verschiedenen Lagen

[[Kategorie:Kartennetzentwurf]]
[[Kategorie:Kristallographie]]