Quelltext der Seite Einsteinsche Summenkonvention

Die '''einsteinsche Summenkonvention''' ist eine Konvention zur Notation mathematischer Ausdrücke innerhalb des ''[[Ricci-Kalkül]]s'' und stellt eine Indexschreibweise dar. Dieser Kalkül wird in der [[Tensoranalysis]], der [[Differentialgeometrie]] und insbesondere in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] verwendet. Die Summenkonvention wurde 1916 von [[Albert Einstein]] eingeführt.<ref>[[Albert Einstein]]: ''Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie.'' In: ''Annalen der Physik.'' 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, Nummer&nbsp;7 (1916), S. 770–822, {{doi|10.1002/andp.19163540702}}.</ref> Mit ihr werden die Summenzeichen zur Verbesserung der Übersicht einfach weggelassen und stattdessen wird über doppelt auftretende Indizes summiert.

== Motivation ==
In der Matrix- und Tensorrechnung werden oft Summen über Indizes gebildet. Zum Beispiel lautet das [[Matrizenprodukt]] zweier <math>n \times n</math>-Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> in Komponenten:

:<math>(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} \cdot B_{kj}</math>

Hier wird über den [[Indexmenge (Mathematik)|Index]] <math>k</math> von 1 bis <math>n</math> summiert. Treten mehrere Matrizenmultiplikationen, [[Skalarprodukt]]e oder andere Summen in einer Rechnung auf, kann dies schnell unübersichtlich werden. Mit der einsteinschen Summenkonvention lautet die Rechnung von oben dann:

:<math>(A \cdot B)_{ij} = A_{ik} \cdot B_{kj}</math>

== Formale Beschreibung ==
Im einfachsten Fall der Summenkonvention gilt: Über doppelt auftretende Indizes innerhalb eines [[Multiplikation|Produkts]] wird summiert. In der Relativitätstheorie gilt als zusätzliche Regel: Summiert wird nur, wenn der [[Indexmenge (Mathematik)|Index]] sowohl als oberer (kontravarianter) als auch als unterer ([[Kovarianz (Physik)|kovarianter]]) [[Indexmenge (Mathematik)|Index]] auftritt.

Die Summenkonvention verringert vor allem den Schreibaufwand. Teilweise hilft sie dabei, bestehende Zusammenhänge und Symmetrien hervorzuheben, die in der konventionellen Summenschreibweise nicht so leicht erkennbar sind.

== Beispiele ==
=== Ohne Beachtung der Indexstellung ===
In den folgenden Beispielen stehen <math>A, B</math> für <math>n \times n</math> Matrizen mit Einträgen <math>A_{ij}, B_{ij}</math> und <math>\vec x = \left( x_1, x_2, \dots , x_n \right),  \vec y = \left( y_1, y_2, \dots , y_n \right)</math> für dazu passende Vektoren.
* [[Standardskalarprodukt]] <math> \vec x \cdot \vec y = x_i y_i </math>.
* Anwendung einer [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] auf einen Vektor: <math> \left(A \vec x \right)_i = A_{ij} x_j </math>.
* Produkt mehrerer (hier 4) Matrizen: <math> (A B C D)_{ij} = A_{il} B_{lm} C_{mn} D_{nj}</math>.
* [[Spur (Mathematik)|Spur]] einer Matrix A: <math>\text{Spur} \, A = A_{ii} </math>.

=== Unter Berücksichtigung der Indexstellung ===
* [[Standardskalarprodukt]] <math> \vec x \cdot \vec y = x_i y^i </math>.
* Das Produkt <math> {C^i}_j </math> zweier Tensoren mit Tensorkomponenten <math>{A^i}_j</math> und <math>{B^i}_j</math> ist <math> {C^i}_j = {A^i}_k {B^k}_j </math>.
* Anwendung eines Tensors mit Komponenten <math>{A^i}_j</math> auf die Summe der Vektoren <math>x^i, y^i</math>, um Vektor <math>z^i</math> zu erhalten: <math>z^i = {A^i}_j \left( x^j + y^j \right)</math>.
* Ein [[Tensorfeld]] t in einer Umgebung <math>U</math> hat die Darstellung
:<math>t|_U = t^{i_1, \ldots , i_r}_{j_1, \ldots , j_s} \frac{\partial}{\partial x^{i_1}} \otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^{i_r}} \otimes \mathrm{d} x^{j_1} \otimes \cdots \otimes \mathrm{d} x^{j_s}.</math>
: Hierbei versteht man den [[Indexmenge (Mathematik)|Index]] des Objektes <math>\tfrac{\partial}{\partial x^{i_1}}</math> als unteren Index.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Albert Einstein]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Notation (Physik)]]
[[Kategorie:Mathematische Notation]]
[[Kategorie:Albert Einstein als Namensgeber]]