Quelltext der Seite Bogoliubov-Ungleichung

Als '''Bogoliubov-Ungleichung''' werden zwei  Ungleichungen bezeichnet, die beide sehr allgemeine Aussagen in der [[Statistische Physik|statistischen Physik]] machen. Die erste so bezeichnete Ungleichung ist eher abstrakt und setzt einen mit zwei Operatoren, ''A'' bzw. ''C'', gebildeten Ausdruck (einen [[Erwartungswert]]en von quantenmechanischen [[Operator (Mathematik)|Operatoren]] im [[thermisches Gleichgewicht|thermischen Gleichgewicht]]) in Beziehung zu einem Produkt aus zwei mit den separaten Operatoren gebildeten Korrelationsfunktionen. Veröffentlicht wurde die Ungleichung 1962<ref>N. N. Bogoliubov, Physik. Abhandl. Sowjetunion 6, 1, 113, 229 (1962).</ref> von dem russischen Physiker und Mathematiker [[Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow]]. Variante 2 ist konkreter: sie betrifft die [[Freie Energie]] eines thermodynamischen Systems und ihre verschiedenen Näherungen und ist allgemeiner bekannt (siehe viele Standard-Lehrbücher der [[Statistische Physik|Statistischen Physik]]).

== Inhalt der Variante 1 ==
Betrachtet wird ein [[physikalisches System]], beschrieben mittels eines [[Hamiltonoperator]]s <math>H</math>. Dann gilt für zwei Operatoren <math>A</math> und <math>C</math> (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):

:<math>|\langle[A,C]\rangle|^2\leq\frac{\beta}{2}\langle\{A,A^\dagger\}\rangle\cdot\langle[C^\dagger,[H,C]]\rangle\qquad \text{mit} \qquad \beta=\frac{1}{k_\mathrm B T}</math>

wobei <math>[A,C]</math> als [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] bzw. <math>\{A,A^\dagger\}</math> als [[Kommutator (Mathematik)#Antikommutator|Anti-Kommutator]] zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators <math>X</math> als

:<math>\langle X \rangle = \text{Sp}(e^{-\beta H}X)/\text{Sp}(e^{-\beta H}) </math>

gegeben ist. <math>k_\mathrm B</math> ist die [[Boltzmann-Konstante]]. Der (ursprüngliche) Beweis des [[Mermin-Wagner-Theorem]]s, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.<ref>Mermin, Wagner ''Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in 1 or 2 dimensional isotropic Heisenberg models'', Physical Review Letters, Bd. 17, 1966, S. 1133.</ref>

== Beweisidee ==
Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über 

: <math>(A,B):=\sum^{E_n\neq E_m}_{nm}\langle n|A^\dagger|m\rangle \langle m|B|n\rangle\frac{e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}}{E_n-E_m}</math>

ein positiv semi-definites [[Skalarprodukt]] definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die [[Schwarzsche Ungleichung]]:

: <math>|(A,B)|^2\leq (A,A)\cdot(B,B)</math> 

Betrachtet man nun <math>B=[C^\dagger,H]</math> so erhält man die Ungleichung.

== Variante 2 ==
Eine andere Beziehung ist ebenfalls als Bogoliubov'sche Ungleichung bekannt,<ref>siehe z.&nbsp;B. die englische Wikipedia im Artikel [[:en:Helmholtz free energy#Bogoliubov inequality|Helmholtz_free_energy#Bogoliubov_inequality]].</ref> aber allgemeiner anwendbar, z.&nbsp;B. bei der Approximation der sog. [[Freie Energie|Freien Energie]] <math>F</math> eines beliebigen thermodynamischen Systems durch Näherungsverfahren, z.&nbsp;B. durch eine [[Molekularfeldtheorie|Molekularfeld-Näherung]]. Diese ebenfalls als "Bogoliubov'sche Ungleichung" bezeichnete Beziehung beruht darauf, dass in solchen Fällen der Hamiltonoperator <math>\mathcal H</math> des Systems durch eine Näherung <math>\mathcal H_0</math> ersetzt wird. Es gilt dann die  Beziehung

:<math>F\le F_0+\langle\mathcal H-\mathcal H_0\rangle_0\,,</math>

wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z.&nbsp;B. <math>\langle X\rangle_0=\frac{{\rm{Spur}\,\,} (e^{-\beta\mathcal H_0}X)}{{\rm{Spur}}\,\, e^{-\beta\mathcal H_0}}\,.</math> Die freie Energie ist im Weiteren der Logarithmus der [[Zustandssumme]], <math>F=-\beta^{-1} \ln {\rm{Spur}\,\,e^{-\beta\mathcal H}}\,.</math> Das Multiplikationszeichen, <math>\cdot \,,</math> ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist (<math>\ln a\cdot b =\ln a + \ln b</math>). 

Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen.

== Literatur ==
* Nolting: ''Quantentheorie des Magnetismus'', Teubner, Bd. 2

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Statistische Physik]]