Quelltext der Seite Biegewelle

[[Bild:Bending Wave.gif|mini|305px|Ebene Biegewelle]]
'''[[Biegung (Mechanik)|Biege]]<nowiki/>wellen''' sind [[Transversalwelle|transversale Welle]]n, die sich in begrenzten [[Ausbreitungsmedium|Medien]] mit ''nicht''verschwindender [[Schubspannung]] ausbreiten können, beispielsweise in [[Balken]] (Anwendungsfall: u.&nbsp;a.&nbsp;[[Triangel]]) und in [[Platte (Technische Mechanik)|Platten]] (Anwendungsfall: u.&nbsp;a.&nbsp;[[Glocke]]n). Im Gegensatz zu [[Longitudinalwelle|Dehnwellen]] findet die [[Periode (Physik)|periodische]] [[Auslenkung]] des Mediums senkrecht&nbsp;("transversal") zur Ausbreitungsrichtung statt, so dass die Welle auch als  periodische Änderung des [[Krümmungsradius]] beschrieben wird.

== Wellengleichung ==
=== Balken ===
Die [[Wellengleichung]] einer Biegewelle auf einem Balken lautet in erster [[Taylorentwicklung|Ordnung]] nach der [[Euler-Bernoulli-Balkentheorie|Euler-Bernoulli-Theorie]]:

:<math>\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + \frac{E \cdot I}{\rho \cdot A} \cdot \frac{\partial^4 z}{\partial x^4} = 0</math>

mit
* <math>z(\vec{x},t)</math> die transversale Auslenkung (in der Abb.: z senkrecht, x waagerecht)
* <math>t</math> die [[Zeit]]
* <math>E</math> der [[Elastizitätsmodul]]
* <math>I</math> das [[Flächenträgheitsmoment]]
** <math>E \cdot I</math> die [[Steifigkeit #Biegesteifigkeit|Biegesteifigkeit]]
* <math>\rho</math> die [[Dichte]] des Balkens
* <math>A</math> die Balken[[querschnittsfläche]].

Für eine Dimension (Ortsvariable <math>x</math>) ergibt sich aus dem [[Harmonische Schwingung|harmonischen]] [[Ansatz (Mathematik)|Lösungsansatz]]

:<math>z = z_0 \cdot e^{i(\omega t + k x)}</math>

mit
* der [[Amplitude]] <math>z_0</math>
* der [[Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] <math>e</math>
* der [[imaginäre Einheit|imaginären Einheit]] <math>i</math>
* der [[Kreisfrequenz]] <math>\omega = 2\pi \cdot f</math>
* der [[Kreiswellenzahl]] <math>k</math>

die [[Dispersionsrelation]]:

:<math>k^2 = \sqrt{\frac{\rho \cdot A}{E \cdot I}} \cdot \omega.</math>

Die [[Phasengeschwindigkeit]] <math>c = \frac{\omega}{k}</math> ist damit stark von der [[Frequenz]] <math>f</math> (und damit auch von <math>\omega</math>) abhängig:

:<math>c = \sqrt{\omega} \cdot \sqrt[4\,]{\frac{E \cdot I}{\rho \cdot A} }</math>.

=== Platte ===
Die entsprechende Gleichung für eine Biegewelle auf einer Platte lautet:

:<math>\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} + \frac{E \, h^2}{12 \rho (1 - \mu^2)} \, \nabla ^ 4 z = 0</math>

mit den zusätzlichen Bezeichnungen
* <math>h</math> die Höhe der Platte
* <math>\mu</math> die [[Querkontraktionszahl]]
* <math>\nabla</math> der [[Nabla-Operator]].

Diese Gleichung führt auf die Dispersionsrelation

:<math>k^2 = \frac{\sqrt{12}}{h} \cdot \sqrt{\frac{\rho \cdot (1 - \mu^2)}{E}} \cdot \omega</math>

und die Phasengeschwindigkeit:

:<math>c = \sqrt{\omega} \cdot \sqrt[4 \,]{\frac{h^2 \cdot E}{ 12 \cdot \rho \cdot (1 - \mu^2)}}.</math>

=== Gruppengeschwindigkeit ===
In beiden Fällen ist die [[Gruppengeschwindigkeit]] <math>c_g = \frac{d\omega}{dk}</math> gerade doppelt so groß wie die Phasengeschwindigkeit:

:<math>c_g = 2 \cdot c</math>.

== Literatur ==
* Michael Möser: ''Technische Akustik''. 7. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71386-9 ([https://books.google.de/books?id=iWVzmOv-fQAC&hl=de google-books])

[[Kategorie:Welle]]