Quelltext der Seite Brennweite

[[Datei:Focal-length.svg|miniatur|upright=0.75|Bei einzelnen dünnen Linsen ist die Brennweite ''f'' gleich dem Abstand des Brennpunkts ''F'' von der Linsenmitte. Bei gewölbten Spiegeln ist es der Abstand vom Spiegelscheitel.]]
Die '''Brennweite''' ist der Abstand zwischen der [[Hauptebene (Optik)|Hauptebene]] einer optischen [[Linse (Optik)|Linse]] oder eines gewölbten Spiegels und dem [[Fokus]] (Brennpunkt).
* Eine [[Sammellinse]] konzentriert ein parallel einfallendes [[Strahlenbündel]] im ''nach'' ihr liegenden Brennpunkt (Abbildung rechts, erstes Bild).
* Bei [[Linse (Optik)#Verschiedene Linsenformen|Zerstreuungslinsen]] liegt der Fokus ''vor'' der Linse, und ein parallel einfallendes Strahlenbündel wird so zerstreut, als ob die Einzelstrahlen alle aus diesem Fokus stammten (zweites Bild).
* Bei einem [[Hohlspiegel]] läuft ein parallel einfallendes [[Strahlenbündel]] im vor dem Spiegel liegenden Brennpunkt zusammen (drittes Bild).
* Bei einem [[Konvexspiegel]] wird ein parallel einfallendes Strahlenbündel so zerstreut, als ob die Einzelstrahlen alle aus dem hinter dem Spiegel liegenden Fokus stammten (viertes Bild).

Aus mehreren Linsen oder/und Spiegeln bestehende Systeme –&nbsp;wie zum Beispiel [[Objektiv (Optik)|Objektive]] von [[Kamera]]s oder [[Mikroskop]]en&nbsp;– haben analog definierte Brennweiten. Hierbei lassen sich die Lagen der Hauptebenen (zwei pro System) nicht so einfach wie bei einer Einzellinse (in ihr) oder bei einem Einzelspiegel (auf seinem Scheitel) angeben.

Die Brennweite ist ein Konzept der [[Paraxiale Optik|paraxialen Optik]].<ref>Eugene Hecht: ''Optik.'' Oldenbourg Verlag, Kapitel&nbsp;5 ''Geometrische Optik.'' Abschnitt&nbsp;2 ''Linsen.''</ref> Sie bezieht sich daher nur auf Strahlen, die einen kleinen Winkel und einen kleinen Abstand zur [[Optische Achse (Optik)|optischen Achse]] des Abbildungssystems aufweisen.

Große Brennweiten entstehen durch flache, schwach gekrümmte Oberflächen. Kleine Brennweiten entstehen durch starke Krümmungen. Speziell bei einzelnen Linsen wird der Kehrwert der Brennweite '''Brechkraft''' {{Anker|Brechkraft}} oder '''Brechwert''' genannt. Bei [[Sammellinse]]n und [[Hohlspiegel]]n ist die Brennweite als positiver Wert, bei [[Linse (Optik)#Verschiedene Linsenformen|Zerstreuungslinsen]] und [[Konvexspiegel]]n als negativer Wert definiert.

Die Brennweite wird bei der Anwendung der [[Linsengleichung]] gebraucht. In der [[Fotografie]] bestimmt die Brennweite des [[Objektiv (Optik)|Objektivs]] zusammen mit dem [[Aufnahmeformat]] den [[Bildwinkel]] (siehe auch [[Formatfaktor]]). Das gilt auch für das Zwischenbild beim [[Lichtmikroskop|Mikroskop]]. Bei Fernrohren und Ferngläsern bestimmen die Brennweiten von Objektiv und [[Okular]] zusammen die [[Vergrößerung (Optik)|Vergrößerung]].

== Brechkraft ==
Der [[Kehrwert]] <math>D=\frac{1}{f}</math> der Brennweite <math>f</math> wird ''Brechkraft'' genannt. Er wird bei [[Brille]]ngläsern in [[Dioptrie]] angegeben.

== Messung der Brennweite ==
Gemäß der [[Linsengleichung|Abbildungsgleichung]] ist bei einer scharfen optischen Abbildung durch eine dünne Linse der Kehrwert der Brennweite gleich der Summe der Kehrwerte der [[Gegenstandsweite]] <math>g</math> und der [[Bildweite]] <math>b</math>:
:<math>\frac{1}{f}=\frac{1}{b}+\frac{1}{g}</math>
Dies kann ausgenutzt werden, um die Brennweite der Linse zu bestimmen. Wenn der abgebildete Gegenstand sehr weit entfernt ist, wird der Zusammenhang besonders einfach. Die Brennweite ist näherungsweise gleich groß wie die Bildweite und kann direkt aus dem Abstand des Bildes von der Linse abgelesen werden.

Ein Verfahren, das ohne ein weit entferntes Objekt auskommt, ist die [[Autokollimation]]. Dabei wird das weit entfernte Objekt durch einen planen Spiegel ersetzt. Das [[Bessel-Verfahren]] zur Bestimmung der Brennweite von dünnen Linsen nutzt aus, dass bei festem Abstand zwischen Objekt und Bild zwei Stellungen der Linse eine scharfe Abbildung erzeugen. Aus dem Abstand dieser beiden Positionen und dem Abstand zwischen Objekt und Bild lässt sich dann die Brennweite der Linse berechnen.

Bei dicken Linsen und Abbildungssystemen mit mehreren optischen Komponenten kann der Abstand der Hauptebenen meist nicht vernachlässigt werden. Dann kann das Abschätzen des Vergrößerungsverhältnisses genauere Ergebnisse liefern. Mit dem [[Abbe-Verfahren]] wird ein Satz von Positionen aufgenommen, in denen das Abbildungssystem Objekte scharf abbildet. Diese Punkte erfüllen eine [[Geradengleichung]]. Aus den Parametern der Geraden lassen sich die Brennweite und die Lage der Hauptebenen bestimmen.

Brillenoptiker bestimmen die Brennweite [[Asphärische Linse|asphärischer]] Gläser und die über die Fläche variierende Brechkraft von [[Gleitsichtglas|Gleitsichtgläsern]] durch eine [[Wellenfrontanalyse]]. Dabei kommt meist ein [[Hartmann-Shack-Sensor]] zum Einsatz. Die automatisierten Geräte heißen aus historischen Gründen [[Scheitelbrechwertmesser]].

== Berechnung der Brennweite ==
{{Hauptartikel|Linse (Optik)}}

=== Brechende Fläche ===
Als brechende Fläche bezeichnet man die Grenzschicht zwischen zwei optischen Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes. Kommt der Lichtstrahl von links, so sei <math>n</math> der Brechungsindex auf der linken Seite und <math>n'</math> der Brechungsindex auf der rechten Seite der Grenzfläche. Die Krümmung der Grenzfläche wird durch den [[Krümmungsradius]] <math>r</math> beschrieben. Liegt der Mittelpunkt des Kreises, der die Grenzfläche beschreibt, auf der vom einfallenden Licht abgewandten Seite, so ist <math>r</math> positiv, andernfalls negativ. Eine nicht gekrümmte Grenzfläche hat den Krümmungsradius <math>r=\infty</math>.
:<math>f'=r\frac{n'}{n'-n}</math>
Die Brennweite der anderen Seite wird durch Vertauschen der Brechungsindices gewonnen, da das Licht nun von rechts kommend aus <math>n</math> nach <math>n'</math> übertritt:
:<math>f=r\frac{n}{n-n'}=-r\frac{n}{n'-n}</math>

=== Linse ===
[[Datei:Brennpkt2Flächen.svg|thumb|hochkant=2|Brennpunkt und bildseitige Hauptebene für zwei Flächen]]
Die Brechung einer Linse der Dicke <math>d</math> ist aus den Brechungen ihrer beiden sphärischen Grenzflächen berechenbar. Mit den Brennweiten <math>f'_2, f_2</math> und <math>f'_1, f_1</math> der beiden Flächen und deren Abstand <math>d</math> ergibt sich
:<math>f'=\frac{f'_1 f'_2}{d-f'_1-f_2}</math>
für die bildseitige Brennweite der Linse. Mit den obigen Gleichungen der Flächenbrennweiten erhält man mit
:<math>\frac{1}{f'} = \frac{n'-n}{n} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) + \frac{(n'-n)^2d}{n' n r_1 r_2}</math>
die bildseitige Linsenbrennweite in Abhängigkeit von den Krümmungsradien <math>r_1</math>, <math>r_2</math> und den Brechungsindizes <math>n</math> und <math>n'</math>. Wie in nebenstehender Abbildung wird die Brennweite <math>f</math> von der Hauptebene H' gemessen. Gegenstandsseitige und bildseitige Brennweiten haben die gleiche Größe, wenn die Linse auf beiden Seiten an Medien mit gleichem Brechungsindex <math>n</math> grenzt. Letztere Gleichung wird auch [[Linsenschleiferformel]] genannt.

=== Dünne Linse ===
{{Hauptartikel|Dünne Linse}}
Die Näherung <math>d\ll f</math> ist für <math>d\approx0</math> erfüllt. Diese Näherung bezeichnet man als dünne Linse, und die Hauptebenen der beiden Grenzflächen fallen zusammen (und zwar zur ''Mittelebene''). Die Gleichung für die Brennweite vereinfacht sich zu
:<math>\frac{1}{f'} = \frac{1}{f} = \frac{n'-n}{n} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right),</math>
wobei wieder von der Mittelebene weg gemessen wird.

In der geometrischen Optik heißt <math>D_1=\frac{n'-n}{nr_1}</math> ''Vorderflächenbrechwert'' und <math>D_2=\frac{n-n'}{nr_2}</math> '''''Rückflächenbrechwert'''''. Obige Gleichung lässt sich damit auch in der Form
:<math>D=D_1+D_2</math>
schreiben.<ref>[http://www.zeiss.de/4125680F0052EC92/Contents-Frame/55AF0B1F4A1D058141256865003F2BEA Zeiss.de – Brillenglas-Kompendium]</ref> Die optische Wirkung von Brillengläsern wird durch den [[Scheitelbrechwert]] ausgedrückt.

=== System aus zwei dünnen Linsen ===
[[Datei:Brennpkt2düLi.svg|miniatur|hochkant=2|System aus zwei dünnen Linsen (H<sub>1</sub> und H<sub>2</sub>)<br />Konstruktion des bildseitigen Brennpunkts F' und der bildseitigen  Hauptebene H']]
Das System aus zwei dünnen Linsen ist dem System „Linse aus zwei brechenden Flächen“ prinzipiell ähnlich (vgl. nebenstehende Abbildung mit der darüberstehenden). Wenn beide Linsen beidseitig vom gleichen Medium umgeben sind, dann gilt:
:<math>\frac{1}{f'}= \frac{1}{f'_1} + \frac{1}{f'_2} - \frac{d}{f'_1 \cdot f'_2} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 \cdot f_2} = \frac{1}{f}</math>
Außer der Gleichheit der gegenstands- und bildseitigen Brennweiten der Einzellinsen gilt also auch die entsprechende Gleichheit beim System:
:<math>f'=f</math>
Zur Abhängigkeit der Brennweiten des Linsensystems aus zwei dünnen Linsen von den Brechungsindizes und Krümmungsradien gelangt man, wenn man für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die oben angegebenen Linsenschleiferformeln für dünne Linsen anwendet.

=== Eng benachbarte dünne Linsen ===
Beim Zusammenrücken der dünnen Linsen wird <math>d \ll f_1, f_2</math>. Der Abstand <math>d</math> kann vernachlässigt werden. Die Brennweite eines solchen Systems ist näherungsweise gleich
:<math>\frac{1}{f'}=\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}.</math>
Diese Gleichung wird zum Beispiel für zwei dünne, zusammengekittete Linsen verwendet. Eine solche Doppellinse besteht in der Regel aus zwei verschiedenen [[Glas]]sorten, womit geringere Abbildungsfehler als bei einer aus nur einer Glassorte bestehenden Linse mit gleicher Brennweite erreicht werden, wie beispielsweise beim [[Achromat]]en.

== Abbildungsfehler mit direktem Zusammenhang zur Brennweite ==
{{Hauptartikel|Abbildungsfehler}}
Die Brennweite ist streng genommen nur in der paraxialen Optik definiert. Jedoch ergeben sich unter bestimmten Bedingungen und vor allem für reale nichtparabolische Linsen diverse sog. Abbildungsfehler, die in einer (teilweise scheinbar) veränderten Brennweite resultieren.<ref>[[Wolfgang Demtröder]]: ''Elektrizität und Optik.'' Springer, Berlin 2006. ISBN 3-540-33794-6 (Kapitel&nbsp;9.5.4).</ref>

In der paraxialen Optik ist es immer möglich, eine Kugelfläche als [[Paraboloid]] anzunähern. Reale Linsen werden oft als Kugelflächen ausgeführt, da diese einfacher herzustellen sind als [[Asphärische Linse|asphärische Flächen]]. Ihnen wird trotzdem eine Brennweite zugeordnet, die eigentlich nur für Strahlen nahe der optischen Achse gilt. Für achsfernere Strahlen ergeben sich verschobene Foki.<ref>Eugene Hecht. ''Optik.'' Oldenbourg Verlag, 2005, ISBN 3-486-27359-0, S.&nbsp;414, {{Google Buch|BuchID=UmkVTxEv6jAC|Seite=414|Hervorhebung=sphärische Aberration Brennweite}}.</ref> Dieser Linsenfehler wird [[sphärische Aberration]] genannt.

Des Weiteren hängt die Brennweite unter anderem vom Brechungsindex des Linsenmaterials ab, der wiederum von der Wellenlänge des Lichts abhängt. Fällt nun Licht unterschiedlicher Wellenlänge (z.&nbsp;B. auch weißes Licht) auf eine Linse, so wird dieses wellenlängenabhängig auf verschiedene Punkte fokussiert. Man spricht von [[Chromatische Aberration|chromatischer Aberration]].

Wenn die Form einer Linse nicht rotationssymmetrisch bzgl. der optischen Achse ist, sondern [[ellipsoid]], dann fokussiert sie fächerartige Lichtbündel je nach deren Orientierung in verschiedenen Bildweiten. Volle Lichtbündel werden ''nicht'' auf einen Punkt fokussiert, sondern in zwei hintereinander liegende Brennlinien in den Richtungen der beiden Hauptachsen des Ellipsoids. Dieser Abbildungsfehler heißt ''[[Astigmatismus (Optik)|axialer Astigmatismus]]''.

== Literatur ==
* Max Born: ''Optik.'' 1972, ISBN 3-540-05954-7 (2.&nbsp;Kapitel).
* Fritz Hodam: ''Technische Optik.'' 1967.
* [[Wolfgang Demtröder]]: ''Elektrizität und Optik.'' Springer, Berlin 2006. ISBN 3-540-33794-6 (Kapitel&nbsp;9.5)

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Paraxiale Optik]]