Quelltext der Seite Breit-Wigner-Formel

[[Datei:Breit-Wigner.png|mini|Breit-Wigner-Verteilung]]
Die '''Breit-Wigner-Verteilung''' (nach [[Gregory Breit]] und [[Eugene Wigner]]) ist eine kontinuierliche [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] mit der [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]

:<math> p(E) = \frac{1}{2\pi}\frac{\Gamma}{(E-M)^2+\Gamma^2/4}</math>.

Darin sind
* ''Γ'' die volle Breite der Kurve auf halber Maximalhöhe ([[Halbwertsbreite]])
* ''M'' der Wert der [[Abszisse]]&nbsp;''E'' (Energie) beim Maximum.

Die Breit-Wigner-Verteilung wird manchmal auch als Lorentz-Kurve oder [[Cauchy-Verteilung]] (vor allem in der mathematischen [[Wahrscheinlichkeitstheorie]]) bezeichnet.

== Physikalische Bedeutung ==
Die Verteilung hat physikalische Bedeutung in der Beschreibung von [[Resonanz (Physik)|Resonanzkurven]], z.&nbsp;B. in der [[Kernphysik]], [[Teilchenphysik]] oder für den getriebenen [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillator]].

In der Teilchenphysik wird für die Energiespektren besonders kurzlebiger [[Teilchen]] häufig die [[relativistisch]]e Breit-Wigner-Formel verwendet:

:<math> p(E) \sim \frac{1}{\left(E^2-M^2\right)^2+M^2\Gamma^2}.</math>

== Beispiel: Z<sup>0</sup>-Boson ==
[[Datei:Breit-Wigner.gif|mini|300px|Simulierte Ereignisse für den Z<sup>0</sup>-Zerfall mit daran [[Methode der kleinsten Quadrate|angepasster]] Breit-Wigner-Kurve]]

Speziell für den Zerfall des [[Z-Boson|Z<sup>0</sup>-Bosons]] ergibt sich die Breit-Wigner-Formel zu

:<math>\sigma_{i\rightarrow f}(s) = 12\pi (\hbar c)^2\cdot \frac{\Gamma_i \cdot \Gamma_f}{(s-M_Z^2c^4)^2+M_Z^2c^4\Gamma_{\text{tot}}^2}.</math>

Hierbei ist
* <math>\Gamma_i</math> die [[Zerfallsbreite #partielle Zerfallsbreite|Partialbreite]] des Eingangskanals (d.&nbsp;h. für den Zerfall Z<sup>0</sup> --> e<sup>+</sup> e<sup>−</sup>)
* <math>\Gamma_f</math> die Partialbreite des Ausgangskanals
* <math>\Gamma_{\text{tot}}</math> die Summe der Partialbreiten für alle möglichen Zerfälle in [[Fermion]]-[[Antiteilchen|Anti]]<nowiki/>fermion-Paare
* <math>s</math> die Energie im [[Schwerpunktssystem]]
* <math>\hbar</math>  das reduzierte [[Plancksches Wirkungsquantum|Plancksche Wirkungsquantum]]
* c die [[Lichtgeschwindigkeit]].

== Beispiel: Resonanzkurve eines Schwingers ==
Die Resonanzkurve kann mittels der Lorentz-Kurve beschrieben werden:
:<math> F(f) = \frac{1}{\pi} \frac{s}{s^2 + (f - f_0)^2}.</math>

Hierbei ist <math>f_0</math> die Resonanzfrequenz. Der Parameter <math>s</math> beschreibt die Güte der Kurve. Das Maximum wird bei <math>f_0</math> erreicht und beträgt <math>F(f_0) = \frac{1}{\pi s} </math>.

Für den Spezialfall <math>s = 1</math> ist das Integral lösbar und hat über dem reellen Intervall den Wert 1:
:<math>
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,\mathrm dx = 
\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^2} \,\mathrm dx = 
\frac{1}{\pi} (\arctan(\infty) - \arctan(-\infty)) = \frac{1}{\pi} (\pi/2 - (-\pi/2)) = 1.
</math>

Das Verhältnis ''Q'' nennt man die Güte des Schwingers. Es kann auch als Funktion des Parameters ''s'' ausgedrückt werden:
:<math>
Q = {f_0 \over {B}} = \frac{\sqrt{f_1 f_2}}{B} = \frac{\sqrt{f_0^2 - s^2 (\sqrt{2}-1)}}{2 s \sqrt{\sqrt{2}-1}}.
</math>
Dabei ist <math>f_0</math> das [[Geometrisches Mittel|geometrische Mittel]] <math>f_0 = { \sqrt{f_1 f_2} }</math> aus der oberen <math>(f_2)</math> und der unteren Grenzfrequenz <math>(f_1)</math>. Die [[Grenzfrequenz]]en sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Größe (z.&nbsp;B. Spannung&nbsp;''U'') auf den <math> \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 </math>-fachen Wert des Maximalwertes <math>F(f_0)</math> zurückgeht. Die Grenzfrequenzen können als Funktion von ''s'' ausgedrückt werden:
:<math>f_{1,2} =  f_0 \pm s \sqrt{\sqrt{2}-1}.</math>

Die Bandbreite ist die Differenz der Grenzfrequenzen <math>B = f_2 - f_1</math>. Der Parameter ''s'' kann als Funktion der Güte ''Q'' ausgedrückt werden:
:<math>s = \frac{f_0}{\sqrt{(4Q^2-1) (\sqrt{2}-1)}}.</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=G. Breit, E. Wigner
   |Titel=Capture of Slow Neutrons
   |Sammelwerk=Phys. Rev.
   |Band=49
   |Datum=1936-04-01
   |Seiten=512-531
   |Sprache=en
   |Online=http://www.physics.smu.edu/~scalise/P4321sp16/BreitWigner.pdf
   |Format=PDF
   |KBytes=1100
   |DOI=10.1103/physrev.49.519}}
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== Weblinks ==

*{{Webarchiv | url=http://rkb.home.cern.ch/rkb/AN16pp/node23.html%23SECTION000230000000000000000 | archive-is=20130101092606 | text=Rudy Bock's home page}}
-->

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]

[[en:Breit-Wigner distribution]]
[[en:Relativistic Breit-Wigner distribution]]
[[hu:Breit-Wigner formula]]