Quelltext der Seite Boltzmann-Faktor

Der '''Boltzmann-Faktor''' <math>\exp \left( -\frac{E}{k_\mathrm{B} \cdot T} \right)</math><br />
mit
* der [[Energie]] <math>E</math>
* der [[Boltzmann-Konstante]] <math>k_\mathrm{B}</math>
* der [[Absolute Temperatur|absoluten Temperatur]] <math>T</math>
: (<math>k_\mathrm{B} \cdot T</math> ist die [[thermische Energie]])
spielt eine zentrale Rolle in der theoretischen [[Thermodynamik]] ([[statistische Physik]]). Er tritt auf im Kontext eines Systems in Kontakt mit einem [[Wärmebad]] ([[kanonisches Ensemble]]).

So besagt die [[Boltzmann-Statistik]], dass die [[Wahrscheinlichkeit]] <math>W</math>, einen [[Energieeigenzustand|Zustand der Energie]] <math>E</math> mit einem Teilchen besetzt zu finden, [[proportional]] ist zum Boltzmann-Faktor:

:<math>W(E) \propto e^{-\frac{E}{k_\mathrm{B} \cdot T}}.</math>

Innerhalb eines gegebenen Energie[[Intervall (Mathematik)|intervalls]] befinden sich evtl. mehrere Zustände, sodass die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei dieser Energie zu beobachten, durch das Produkt des Boltzmannfaktors, der Energie[[zustandsdichte]] <math>D(E)</math> und der Breite des Energieintervalls gegeben ist:

:<math>W(E)  = D(E) \cdot \Delta E \cdot e^{-\frac{E}{k_\mathrm{B} \cdot T}}</math>

Der Boltzmann-Faktor wird aus rein statistischen Betrachtungen hergeleitet und ist unabhängig von den Wechselwirkungen innerhalb des [[Thermodynamisches System|thermodynamischen Systems]].

== Die Rolle des Wärmebads ==
Die Exponentialfunktion des Boltzmann-Faktors hat ihren Ursprung in einer Eigenschaft des Wärmebads. Die [[mikrokanonische Zustandssumme]] eines Wärmebads konstanter Temperatur <math>T</math> erfüllt die Gleichung
:<math>Z(E+\Delta E,T)=Z(E,T)e^{\beta\Delta E}.</math>
Ein Beispiel dafür ist die Zustandssumme des idealen Gases. Die Energie <math>\Delta E</math> kann nur aus dem an das Wärmebad gekoppelten System stammen, und dies führt auf den Boltzmann-Faktor.

Die Exponentialfunktion in der Wärmebad-Zustandssumme ist generisch und hat eine anschauliche Begründung. Ein Wärmebad ist per Definition beliebig groß und ändert sich bei Hinzufügen einer endlichen Energiemenge <math>\Delta E</math> daher nicht. Insbesondere hat es konstante Temperatur. Entsprechend ändert sich seine Zustandssumme bei jedem weiteren Hinzufügen einer Energiemenge <math>\Delta E</math> um denselben Faktor <math>e^{\beta\Delta E}</math>, was nur bei einer Exponentialfunktion gegeben ist. Formal folgt die Wärmebad-Zustandssumme auch aus der Definition
:<math>d \ln{Z}/dE  = \beta</math>
der Temperatur des mikrokanonischen Ensembles. Wenn das Wärmebad hinreichend groß ist, ist <math>\beta = 1/k_{B}T</math> konstant und das Integral liefert eine Exponentialfunktion.

== Anwendungsbeispiele ==
=== Barometrische Höhenformel ===
{{Hauptartikel|Barometrische Höhenformel}}
Die [[potentielle Energie]] eines Gasmoleküls der Luft mit Masse <math>m</math> in der Höhe <math>h</math> ist <math>mgh</math>. Die Wahrscheinlichkeit, es in dieser Höhe anzutreffen, ist proportional zu

: <math>W(h) \propto e^{-\frac{mgh}{k_\text{B} T}}</math>.

=== Arrhenius-Gleichung ===
{{Hauptartikel|Arrhenius-Gleichung}}
Zum Start einer chemischen Reaktion ist die [[Molarität|molare]] [[Aktivierungsenergie]] <math>E_\mathrm{A}</math> erforderlich. Die [[Geschwindigkeitskonstante]] einer chemischen Reaktion ist proportional zu

: <math>W(E_\text{A}) \propto e^{-\frac{E_\text{A}}{R T}}</math>.

=== Dampfdruckkurve ===
{{Hauptartikel|Dampfdruckkurve}}
Der Übergang von der Flüssigkeit in die Gasphase erfordert die molare [[Verdampfungswärme]] <math>Q_d</math> (präziser wäre [[Enthalpie]]). Der [[Sättigungsdampfdruck]] ist proportional zu
: <math>W(Q_d) \propto e^{-\frac{Q_d}{k_\text{B} T}}</math>.

[[Kategorie:Thermodynamik]]