Quelltext der Seite Aperiodischer Grenzfall

[[Datei:Aperiodischer_Grenzfall.png|thumb|right|Normierte Auslenkung <math>x/x_0</math> beim aperiodischen Grenzfall als Funktion der normierten Zeit <math>t\cdot\delta</math>. Gezeigt sind drei Verläufe mit unterschiedlichen Anfangsgeschwindigkeiten <math>v_0</math>.]]
Der '''aperiodische Grenzfall''' beschreibt einen Dämpfungszustand eines [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]]. Es ist die kleinste Dämpfung, bei der die Auslenkung ohne Überschwingen, d.&nbsp;h. einen Richtungswechsel, der Gleichgewichtslage zustrebt, wenn er ohne Anfangsgeschwindigkeit aus einem ausgelenkten Zustand losgelassen wird. Die Annäherung an die Gleichgewichtslage findet in kürzester Zeit statt. Verfügt der Oszillator über eine Anfangsgeschwindigkeit, kann es im aperiodischen Grenzfall zu einem Nulldurchgang kommen. Bei noch größerer Dämpfung spricht man vom überaperiodischen Fall oder [[Kriechfall]].

Dem aperiodischen Grenzfall entspricht eine [[Dämpfungsgrad|Lehrsche Dämpfung]] von ''D'' = 1 bzw.  ein [[Gütefaktor]] von ''Q'' = 0,5.

== Linear gedämpfter harmonischer Oszillator == 

Die Bewegungsgleichung einer gedämpft schwingenden Masse lautet:
:<math>
m \ddot{x}+ d \; \dot{x}+ k x=0
</math>

mit der Auslenkung ''x'', der [[Dämpfungskonstante]]n ''d'', der [[Masse (Physik)|Masse]] ''m'' und der [[Federkonstante]]n ''k''.

Üblicherweise identifiziert man <math>\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}</math> als die ungedämpfte [[Kreisfrequenz|Eigenkreisfrequenz]] des [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] und <math>\delta = \frac{d}{2 m} </math> als die [[Abklingkonstante]], so dass sich für die Bewegungsgleichung eines gedämpften harmonischen Oszillators folgende Form ergibt:
:<math>
\ddot{x}+ 2 \; \delta \; \dot{x}+ \omega_0^2 \; x=0
</math>

Diese Gleichung lässt sich mit dem Exponential-Ansatz  <math> x(t) \sim e^{\lambda\cdot t}</math> lösen. Es ergibt sich die [[charakteristische Gleichung]]:
:<math>
\lambda^2 + 2\; \delta \; \lambda \;+ \omega_0^2 =0
</math>

Mit der Lösung:
:<math>\lambda_{1,2}=-\delta\pm\sqrt {\delta^2-\omega_0^2}
</math>

Für <math>\delta = \omega_0</math> ergibt sich der aperiodische Grenzfall, da dann die Diskriminante dieser Gleichung zu 0 wird. Daher schwingt der Oszillator nicht periodisch, sondern kehrt in minimaler Zeit zur Ruhelage zurück.

Es gilt dann <math>\lambda = -\delta</math> und die allgemeine Lösung für den Fall einer doppelten Nullstelle hat die folgende Form:
:<math>
x (t) = c_1 \cdot e^{-\delta \; t} + c_2 \cdot t \cdot e^{-\delta \; t}
</math>

Wird der Schwinger zum Zeitpunkt Null an der Stelle <math>x_0</math> mit der Geschwindigkeit Null losgelassen, dann gilt <math>x(0) = x_0</math> und <math>\dot x(0) = 0</math>, sodass sich folgende spezielle Lösung ergibt:
:<math>
x (t) = x_0 \cdot (1+\delta \; t) \cdot e^{-\delta \; t}
</math>
Wird andererseits der Schwinger zum Zeitpunkt Null an der Stelle <math>x(0)=0</math> mit der Geschwindigkeit <math>v_0=\dot x(0)</math> „angestoßen“, so ergibt sich die Lösung:
:<math>
x (t) = v_0 \cdot t \cdot e^{-\delta \; t}
</math>
Bei der Vorgabe beider Anfangsbedingungen lassen sich diese Lösungen auch linear überlagern, sodass insgesamt für die Anfangsdaten <math>x(0) = x_0</math>, <math>\dot x(0) = v_0</math> die Lösung
:<math>x(t) = \bigl(x_0 + (v_0 + x_0 \cdot \delta) \cdot t\bigr) \cdot e^{-\delta \; t} </math>
lautet.

== Anwendung ==

* [[Stoßdämpfer]]
* [[Drehspulmessinstrument]]

[[Kategorie:Schwingungslehre]]
[[Kategorie:Wellenlehre]]