Quelltext der Seite Zentrifugalkraft

Die '''Zentrifugalkraft''' (von {{LaS|''centrum''}}, Mitte und {{lang|la|''fugere''}}, fliehen), auch '''Fliehkraft,''' ist eine [[Trägheitskraft]], die bei Dreh- und Kreisbewegungen auftritt und radial von der [[Rotationsachse]] nach außen gerichtet ist. Sie wird durch die [[Trägheit]] des Körpers verursacht. Die Auswirkungen der Zentrifugalkraft sind im Alltag vielfach erlebbar, beispielsweise wenn beim [[Kettenkarussell]] die Sitze nach außen gedrängt werden, in der [[Salatschleuder]] das Wasser nach außen geschleudert wird oder sich ein [[Zweirad]]fahrer [[Dynamik des Fahrradfahrens#Kurvenfahrt|„in die Kurve legen“]] muss.

In der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] bezeichnet Zentrifugalkraft&nbsp;…

* … den Widerstand, den der Körper nach dem [[Newtonsche Gesetze#Erstes newtonsches Gesetz|Trägheitsprinzip]] der Änderung seiner Bewegungsrichtung entgegensetzt, wenn er einer gekrümmten Bahn folgt. Die Zentrifugalkraft ist stets entgegengesetzt gleich zu der [[Zentripetalkraft]], die diese Änderung der Bewegungsrichtung verursacht. Als [[Trägheitskraft#d’Alembertsche Trägheitskraft|d’Alembertsche Trägheitskraft]] steht die Zentrifugalkraft mit der Zentripetalkraft im [[Dynamisches Gleichgewicht (Technische Mechanik)|dynamischen Gleichgewicht]].<ref name="Paus" /><ref name="ass" />
* … eine Kraft, die immer dann berücksichtigt werden muss, wenn man die Bewegung eines Körpers bezüglich eines [[Beschleunigtes Bezugssystem#Rotierendes Bezugssystem|rotierenden Bezugssystems]] beschreibt.<ref name="mayr" /> Diese Trägheitskraft tritt auch bei Abwesenheit einer Zentripetalkraft auf, jedoch nie in einem [[Inertialsystem]]. Die Zentrifugalkraft ergibt sich aus der '''Zentrifugalbeschleunigung''' durch Multiplikation mit der Masse.

Die Zentrifugalkraft ergibt sich nach beiden Begriffsbildungen in gleicher Größe und Richtung. Die Zentrifugalkraft ist eine [[Scheinkraft]]. Sie genügt nicht dem Prinzip von [[Actio und Reactio]].

== Geschichte ==

[[Datei:Kettenkarussel.jpg|mini|hochkant=1.6|Die Passagiere eines rotierenden Kettenkarussells schwingen durch die Zentrifugalkraft nach außen.]]

Eine qualitative Beschreibung der Zentrifugalkraft findet sich bereits in den 1644 erschienen ''Prinzipien der Philosophie'' von [[René Descartes]].<ref>{{Literatur
 | Autor = René Descartes
 | Titel = Die Prinzipien der Philosophie, übersetzt von Artur Buchenau
 | Auflage = 7.
 | Verlag = Felix Meiner Verlag
 | Ort = Hamburg
 | Datum = 1965
 | Seiten = 86 ff.
}}</ref> Quantitativ wurde sie erstmals 1669 in einem Brief von [[Christian Huygens]] an den Sekretär der Royal Society [[Henry Oldenbourg]] abgeleitet, auch in dessen ''Horologium Oscillatorium'' von 1673 ohne Ableitung erwähnt und ausführlich in dessen nachgelassener Schrift von 1703 ''De Vis Centrifuga'' (aus dem Jahr 1659). [[Isaac Newton]] beschrieb die Zentrifugalkraft erst nach Huygens, aber unabhängig von diesem.<ref>[[John Herivel]]: ''The Background of Newton’s Principia,'' und John Herivel: ''Newton’s Discovery of the law of Centrifugal Force.'' In: ''The Isis.'' Band&nbsp;51, 1960, S.&nbsp;546.</ref>
[[Datei:Zentrifugalkraft.svg|mini|Zentrifugalkraft bei einer Kreisbewegung]]
Die sich durch die Zentrifugalkraft ausbildende Form der Flüssigkeitsoberfläche in einem rotierenden, offenen Wassereimer wurde von Isaac Newton als Nachweis der Existenz eines [[Absoluter Raum|absoluten Raumes]] gedeutet.

== Trägheitswiderstand ==

=== Formeln ===

[[Datei:Spielplatzkarussell_07072013.JPG|mini|Bei einem Spielplatzkarussell mit geringer Eigenmasse erhöhen sich Drehzahl und Zentrifugalkraft, wenn man sich von außen nach innen bewegt.]]
[[Datei:Coney_Carousel_006.JPG|mini|Ein schweres, mechanisch angetriebenes Karussell verändert seine Drehzahl demgegenüber kaum, wenn man sich zur Mitte hin bewegt. Die Zentrifugalkraft nimmt daher dabei ab.]]
Für eine Kreisbahn ist die Zentrifugalkraft <math>F_\text{Zf}</math> radial vom Mittelpunkt nach außen gerichtet. Ihre Stärke kann mithilfe der [[Masse (Physik)|Masse]] <math>m</math>, des [[Radius]] <math>r</math> des Kreises und der [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\omega</math> berechnet werden. Es gilt:

: <math>F_\text{Zf} = m\, \omega^2 \,r</math>

Die [[Geschwindigkeit#Bahngeschwindigkeit|Bahngeschwindigkeit]] <math>v</math> hängt mit der Winkelgeschwindigkeit und dem Radius des Kreises zusammen durch

: <math>\omega = v/r</math>.

Daher kann die Zentrifugalkraft auch in Abhängigkeit von der Bahngeschwindigkeit angegeben werden:

: <math>F_\text{Zf} = m\,\frac{v^2}{r}</math>

Die Formeln zeigen, warum es schwieriger für eine Person wird, sich auf einer frei rotierenden Scheibe aufzuhalten, wenn sie sich zum Mittelpunkt der Scheibe hin bewegt. Die Massenträgheit ist bestrebt, die Bahngeschwindigkeit der Person beizubehalten, während sie sich der Rotationsachse der Scheibe nähert. Dadurch beschleunigt sich die Rotation der Scheibe, ihre Winkelgeschwindigkeit steigt (vergleiche [[Coriolis-Effekt]]). Als Resultat erhöht sich die Zentrifugalkraft proportional zur Verringerung des Radius.<br />
Im Gegensatz dazu verringern sich bei einem großen Karussell mit gleichbleibender Drehzahl Bahngeschwindigkeit und Zentrifugalkraft, wenn man sich zur Mitte hin bewegt, proportional zum Radius.

Der Betrag der Zentrifugalbeschleunigung <math>a_\text{Zf}</math> ergibt sich aus der Zentrifugalkraft durch Division durch die Masse <math>m</math> des Probekörpers. Es gilt daher

: <math>a_\text{Zf} = \omega^2 \,r</math>

und

: <math>a_\text{Zf} = \frac{v^2}{r}</math>.

Diese Gleichungen gelten ganz allgemein, wenn ein Körper eine Bahn durchläuft. Dabei ist der [[Krümmungsradius]] <math>r</math> der Radius des minimalen Kreises, der sich am jeweiligen Ort des Körpers an die Bahn anschmiegen lässt. Und <math>\omega</math> ist die Winkelgeschwindigkeit, die der Körper in Bezug auf den Mittelpunkt dieses Kreises hat. Die Zentrifugalkraft zeigt dann nach „außen“, vom Mittelpunkt des Kreises weg.

Die Zentripetalkraft ist gleich stark wie die Zentrifugalkraft und ist ihr exakt entgegen gerichtet:
: <math>F_{Zf} = F_{Zp}</math>, vektoriell: <math>\vec F_{Zf} = -\vec F_{Zp}</math>

Zur Berechnung der Zentripetalkraft werden daher die genau gleichen Formeln wie zur Berechnung der Stärke der Zentrifugalkraft eingesetzt. Allerdings ist die weit verbreite Vorstellung falsch, man würde deshalb aus der Kurve „getragen“, weil die Zentrifugalkraft größer sei als die Zentripetalkraft. Vielmehr geschieht dies, wenn die zur Änderung der Bewegungsrichtung (Kreisbahn) einwirkende äußere Kraft nicht ausreicht, die erwartete Änderung herbeizuführen. Beispiel: die [[Haftreibung]] der Autoreifen reicht nicht aus, um diejenige Zentripetalkraft von der Fahrbahn auf das Fahrzeug zu übertragen, die bei der gegebenen Geschwindigkeit dem Einschlag des Lenkrads und dem so gewählten Kurvenradius entspricht.

Nur durch die Einführung eines speziellen [[#Rotierendes Bezugssystem|rotierenden Bezugsystems]] lässt sich die Zentrifugalkraft von der Zentripetalkraft entkoppeln.

=== Zentripetalkraft bei Kurvenfahrt ===

[[Datei:Zp-1.png|mini|Kurvenabschnitt (Länge L, gestrichelt), Änderung der Geschwindigkeit <math>\Delta \vec v</math>, Krümmungsradius <math>r</math>]]

Ein Körper mit der Masse <math>m</math> befährt mit konstanter Geschwindigkeit einen Kurvenabschnitt mit dem Krümmungsradius <math>r</math> und ändert dabei seine Bewegungsrichtung (siehe Abb.). Damit die Bewegungsrichtung sich wie angegeben ändert, muss im rechten Winkel zur Bewegungsrichtung eine Kraft einwirken. Dies ist die Zentripetalkraft.

Der Betrag <math>v</math> der Geschwindigkeit bleibt gleich, aber der Geschwindigkeitsvektor <math>\vec v</math> ändert sich um <math>\vec{\Delta v}</math>. Wenn <math>\Delta v</math> den Betrag dieser Änderung bezeichnet, dann ist die dazu nötige Kraft

: <math>F=m\, \frac{\Delta v}{\Delta t}</math> ([[Newtonsche Gesetze#Zweites newtonsches Gesetz|2. Newtonsches Gesetz]] oder ''Grundgesetz der Mechanik'').

Während der Zeit <math>\Delta t</math> legt der Körper die Strecke <math>L=v \Delta t</math> zurück. Für den Winkel <math>\alpha</math> (im Bogenmaß) gilt <math>\alpha =L/r</math>, also ist <math>\Delta v=v \alpha= \frac{v^2}{r} \Delta t</math>. Setzt man den Ausdruck für <math>\Delta v</math> in die Formel für <math>F</math> ein, ergibt sich die Zentripetalkraft <math>F_{Zp}</math>:<ref name="szabo" />

: <math>F_{Zp} = m \frac{v^2}r</math>

Die Kreisfahrt kann auch als Rotation um den Krümmungsmittelpunkt mit der Winkelgeschwindigkeit <math>\omega</math> aufgefasst werden. Mit <math>v = \omega \, r</math> gilt für die Zentripetalkraft auch:

: <math>F_{Zp} = m \,\omega ^2\, r</math>

==== Zahlenbeispiel ====

Ein Autofahrer mit der Masse von 70&nbsp;kg (<math>m \mathrm{g} \approx</math> 700&nbsp;N) fährt mit 15&nbsp;m/s (54&nbsp;km/h) durch eine Rechtskurve mit einem Radius von 75&nbsp;m.

Die Zentripetalkraft ist dann
: <math>F_{Zp} = 70 \; \mathrm{kg} \frac{({15\; \mathrm{m/s})}^2}{75\; \mathrm{m}} = 70 \; \mathrm{kg} \cdot 3\; \mathrm{m/s^2}= 210\, \mathrm{N}.</math>

Die Zentripetalkraft wirkt von links auf den Fahrer ein und zwingt ihn aus seiner zunächst geradlinigen Trägheitsbewegung in die Kurvenbahn, gerade so, dass er im Auto seine Position beibehält. Die Kraft <!-- hat in diesem Beispiel eine Stärke von ca. 30 % der Gewichtskraft. Da die meisten Menschen den Kurvenradius nicht visualisieren bzw. in Kontext setzen können, trägt die Angabe der Zentripetalkraft relativ zum Gewicht des Fahrers hier nicht zur Veranschaulichung bei. Sie verleitet eher zur unzulässigen Verallgemeinerung des Ergebnisses und sollte wohl besser weggelassen werden --> wird vom Fahrersitz auf den Fahrer ausgeübt und er spürt sie dadurch, dass er seitlich in den Sitz gedrückt wird.

=== D’Alembertsche Trägheitskraft ===

Beschreibt der [[Massenmittelpunkt|Schwerpunkt]] eines Körpers mit der Masse <math>m</math> in einem [[Inertialsystem]] eine gekrümmte Bahn, so ist dafür eine Kraft erforderlich, die an jedem Punkt eine zur Bahnkurve senkrechte Komponente besitzt. Diese Komponente wird Zentripetalkraft <math>\vec F_\text{Zp}</math> genannt. Gemäß dem [[Newtonsche Gesetze#Zweites newtonsches Gesetz|zweiten newtonschen Gesetz]] ergibt sich eine dazu proportionale Zentripetalbeschleunigung <math>\vec a_\text{Zp}</math>, die zum Krümmungsmittelpunkt der Bahn gerichtet ist:

: <math>\vec F_\text{Zp} = m \vec a_\text{Zp}</math>

Diese ''Grundgleichung der Mechanik'' kann auf die Form

: <math>\vec F_\text{Zp}-m \vec a_\text{Zp} = \vec 0</math>

gebracht werden.

Das negative Produkt aus Masse und Zentripetalbeschleunigung wird formal als Kraft aufgefasst<ref name="gross" /> und als Zentrifugalkraft <math>F_\text{Zf}</math> bezeichnet.<ref name="mayr" /> Ein dynamisches Problem kann somit auf ein statisches Gleichgewicht aus äußerer Kraft und Trägheitskraft zurückgeführt werden:<ref name="lanc" />

: <math>\vec F_\text{Zp}+\vec F_\text{Zf} = \vec 0</math>

Im Sinne des [[Dynamisches Gleichgewicht (Technische Mechanik)|dynamischen Gleichgewichts]] ist die Zentrifugalkraft stets entgegengesetzt gleich groß wie die Zentripetalkraft.<ref name="mahnken" /><ref name="Böge" /> Die Summe der Kräfte ist somit null, wenn man die (d’Alembertsche) Trägheitskraft mit einschließt.

Daraus ergibt sich die Definition der Zentrifugalkraft als Trägheitswiderstand in Bezug auf die Zentripetalkraft:

: <math>\vec F_\text{Zf} = -\vec F_\text{Zp}</math>

Der Trägheitswiderstand quantifiziert eine Eigenschaft der Trägheit, die sich dadurch äußern soll, dass ein Körper sich durch eine Trägheitskraft („vis inertiae“) jeder Änderung einer bestehenden Bewegung widersetzt.

Die Zentrifugalkraft im d’Alembertschen Sinn ist immer an die Zentripetalkraft gekoppelt, gewissermaßen deren Spiegelbild. Sie wird daher in manchen Texten als „Gegenkraft“ oder „Reaktionskraft“ zur Zentripetalkraft beschrieben;<ref name="Paus" /><ref name="ass" /> dabei wird ein Bezug zum [[Newtonsche Gesetze#Drittes newtonsches Gesetz|dritten newtonschen Gesetz]] nahegelegt. Andere Autoren wenden jedoch ein, dass diese Kraft nicht mit den in rotierenden Bezugssystemen auftretenden Trägheits- bzw. Scheinkräften verwechselt werden darf und verweisen auf einen Widerspruch zum dritten newtonschen Gesetz, da Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft am selben Körper angreifen, dagegen müssen Kräftepaare, die als „[[Actio und Reactio]]“ bezeichnet werden, an verschiedenen Körpern angreifen.<ref name="bergmann" />

Im Unterschied dazu ist diejenige Zentrifugalkraft, die nur dann berücksichtigt werden muss, wenn man die newtonsche Bewegungsgleichung in einem beschleunigten und rotierenden Bezugssystem formuliert<ref name="lanc" /> von der Zentripetalkraft unabhängig.

=== Zentrifugalpotential ===

Da die Zentrifugalkraft, genau wie die [[Gravitationskraft]] <math>F_\mathrm{G}=mg,</math> proportional zur Masse des Körpers ist, lässt sich die Zentrifugalbeschleunigung ähnlich wie die [[Erdbeschleunigung]] <math>g</math> als [[Ortsfaktor]] deuten. Dieser Ortsfaktor gibt die [[Beschleunigung]] an, die ein Körper aufgrund der Zentrifugalkraft an diesem Ort erfährt.

: <math>\Phi_\mathrm{Z} = \frac{\omega^2 r^2}{2} = \frac{v^2}{2}</math>

Denn <math>\omega r = v</math> ist die Geschwindigkeit, wenn Winkelgeschwindigkeit und Radiusvektor senkrecht aufeinander stehen.

Die Energie im Zentrifugalpotential ist gleich der [[Kinetische Energie|kinetischen Energie]]:

: <math>E_\mathrm{Z} = \frac{m \omega^2 r^2}{2} = \frac{m v^2}{2}</math>

Mit einem anderen Zentralpotential (z.&nbsp;B. Gravitation, Coulomb-Kraft) kann das Zentrifugalpotential zum [[Effektives Potential|effektiven Potential]] zusammengefasst werden.

== Bezugssystemabhängige Scheinkräfte ==

=== Allgemein beschleunigtes Bezugssystem ===

[[Datei:AngleGrinder Hydraulophone EndCap2.jpg|mini|Die Funken eines Winkelschleifers fliegen geradlinig. Für einen Beobachter, der sich auf der Scheibe befindet und mit ihr rotiert, würden die Funken einer schneckenförmigen Bahn folgen, wie im unteren Bild dargestellt.]]
[[Datei:Evolvent of circle.jpg|mini|Ein „losgelassenes Objekt“ im rotierenden Bezugssystem beschreibt eine Kreisevolvente.]]
Scheinkräfte müssen immer dann berücksichtigt werden, wenn man eine [[Bewegungsgleichung]] in einem Bezugssystem aufstellt, das selbst gegenüber dem Inertialsystem beschleunigt wird. Betrachtet man z.&nbsp;B. die Funken, die sich von einer Schleifscheibe lösen, in einem Inertialsystem, so bewegen sich diese geradlinig, da sie kräftefrei sind. Im rotierenden Bezugssystem der Schleifscheibe wird die Relativbeschleunigung der Teilchen dagegen mit einer Scheinkraft erklärt.

==== Herleitung ====

Um zwischen den Größen eines Objektes (Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung) in zwei Bezugssystemen zu unterscheiden, wird die normale Notation im Inertialsystem verwendet und das nichtinertiale Bezugssystem erhält den gleichen Buchstaben mit einem Apostroph (engl. ''prime'').<ref>Notation hauptsächlich nach Karl Schilcher: ''Theoretische Physik kompakt für das Lehramt.'' S. 89.</ref> Letzteres wird dann auch als „gestrichenes Bezugssystem“ bezeichnet.<ref name="her" />

{| class="wikitable"
!
! Bedeutung
|-
| <math>\vec{r}</math>||[[Ortsvektor|Position]] des Objektes in S (Inertialsystem).
|-
| <math>\vec{r}\,'</math>||Relativposition des Objektes in S’ (Nicht-Inertialsystem).
|-
| <math>\vec{v}=\dot{\vec{r}}</math>||[[Geschwindigkeit]] des Objektes in S
|-
| <math>\vec{v}\,'</math>||Relativgeschwindigkeit des Objektes in S’
|-
| <math>\vec{a}=\dot{\vec{v}}</math>||[[Beschleunigung]] des Objektes in S
|-
| <math>\vec{a}\,'</math>||Relativbeschleunigung des Objektes in S’
|-
| <math>\vec{r}_B</math>||Position des Ursprungs von S’ in S
|-
| <math>\vec{v}_B=\dot{\vec{r}}_B</math>||Geschwindigkeit des Ursprungs von S’ in S
|-
| <math>\vec{a}_B=\dot{\vec{v}}_B</math>||Beschleunigung des Ursprungs von S’ in S
|-
| <math>\vec{\omega}</math>||[[Winkelgeschwindigkeit]] des Systems S’ in S
|-
| <math>\vec{\alpha}=\dot{\vec{\omega}}</math>||[[Winkelbeschleunigung]] des Systems S’ in S
|-
|}

Das [[Newtonsche Gesetze#Zweites newtonsches Gesetz|zweite newtonsche Gesetz]] gilt in seiner ursprünglichen Form nur im Inertialsystem. Die Impulsänderung ist in diesem Bezugssystem proportional zur äußeren Kraft <math>\vec{F}</math>:

: <math>m\, \vec {a}=\vec{F}</math>

Möchte man eine analoge Bewegungsgleichung in einem Bezugssystem aufstellen, das kein Inertialsystem ist, müssen Scheinkräfte berücksichtigt werden. Mit Hilfe [[Kinematik#Relativbewegung|kinematischer Beziehungen]] wird die [[Beschleunigung]] im Inertialsystem durch Größen ausgedrückt, die in einem beschleunigten Bezugssystem gegeben sind:<ref name="mayr" />

: <math>\vec a = \frac {d \vec v}{d t} = \vec a_B + \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec {r}{\;'}) + \dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'} + 2 \, \vec \omega \times \vec {v}{\;'} + \vec {a}{\;'}</math>

Einsetzen in die Newtonsche Bewegungsgleichung und Umstellung nach dem Term mit der Relativbeschleunigung ergibt:

: <math>m\, \vec {a}{\;'} = \vec{F} -m\, \vec{a}_{B} \underbrace {-m\, \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec {r}{\;'})}_{\vec{F}_{\mathrm{zentrifugal}}} \underbrace {-m\, \dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'}}_{\vec{F}_{\mathrm{Euler}}} \underbrace {-2 m\, \vec \omega \times \vec {v}{\;'}}_{\vec{F}_{\mathrm{Coriolis}}}</math>

Das Produkt aus Masse <math>m</math> und Relativbeschleunigung <math>\vec {a}{\;'}</math> entspricht der Summe der in diesem Bezugssystem wirkenden Kräfte. Diese setzen sich aus den äußeren Kräften und den Scheinkräften zusammen.

Der Term <math>-m\, \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec {r}{\;'})</math> ist die Zentrifugalkraft, die berücksichtigt werden muss, wenn der Impulssatz im beschleunigten Bezugssystem angewandt wird. Diese Kraft ist unabhängig davon, ob eine Zentripetalkraft vorhanden ist oder nicht. Die Zentrifugalkraft ist senkrecht zur Winkelgeschwindigkeit <math>\vec{\omega}</math> im Bezugssystem radial nach außen gerichtet. Die Zentrifugalkraft ist auf einer Achse, die durch den Ursprung des Bezugssystems geht und in Richtung der Winkelgeschwindigkeit zeigt, null, selbst wenn der Ursprung des Bezugssystems eine Kreisbewegung ausführt. Die weiteren Scheinkräfte sind <math>-m\, \vec{a}_{B}</math> (zuweilen Einsteinkraft genannt), die [[Eulerkraft]] und die [[Corioliskraft]].

Stehen Radiusvektor und Winkelgeschwindigkeit senkrecht aufeinander, so ergibt sich mit <math>r= \left | \vec {r}{\;'} \right |</math> für den Betrag der Zentrifugalkraft:

: <math>F_\text{Zf} = m \omega^2 r</math>

=== Rotierendes Bezugssystem ===

Rotationen werden häufig in einem Bezugssystem beschrieben, bei dem der Ursprung im ortsfesten oder momentanen Krümmungsmittelpunkt liegt. Der Ursprung des Bezugsystems ist nicht beschleunigt. Nimmt man an, dass als äußere Kraft nur die Zentripetalkraft wirkt, lautet die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem:

: <math>m\, \vec {a}{\;'} = \vec{F}_{\text{Zp}} \underbrace {-m\, \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec {r}{\;'})}_{\vec{F}_{\mathrm{zentrifugal}}} \underbrace {-m\, \dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'}}_{\vec{F}_{\mathrm{Euler}}} \underbrace {-2 m\, \vec \omega \times \vec {v}{\;'}}_{\vec{F}_{\mathrm{Coriolis}}}= \vec{F}_{\text{Zp}} + \vec{F}_{\text{Zf}} + \vec{F}_{\text{E}} + \vec{F}_{\text{C}}</math>

Für den Spezialfall, dass ein Körper im rotierenden Bezugssystem ruht, sind Corioliskraft und die Relativbeschleunigung null. Die Eulerkraft verschwindet ebenfalls, da die Winkelbeschleunigung ebenfalls null wird.

: <math>\vec{F}_{\text{Zp}} + \vec{F}_{\text{Zf}} = \vec 0</math>

Es ergibt sich dieselbe Beziehung wie beim dynamischen Gleichgewicht. Dennoch ist das Ergebnis an unterschiedliche Voraussetzungen geknüpft. Während sich die d’Alembertsche Trägheitskraft als negatives Produkt aus Masse und Absolutbeschleunigung ergibt, wird hier ein spezielles Bezugssystem vorausgesetzt.

In diesem Bezugssystem kompensieren sich Fliehkraft und die nach innen gerichtete Zentripetalkraft. Anschaulich formuliert: Wenn ein Objekt auf einer rotierenden Scheibe „stehen bleiben“ soll, muss etwas das Objekt festhalten. Die Fliehkraft und die Zentripetalkraft addieren sich zu null, sodass der Körper „in Ruhe“, also an derselben Stelle der Scheibe bleibt.

Beschreibt man das Objekt auf einer rotierenden Scheibe dagegen in einem Inertialsystem, so möchte sich der Körper gemäß dem [[Trägheitsprinzip]] nicht auf einer Kreisbahn, sondern unter Beibehaltung seiner Geschwindigkeit geradeaus weiterbewegen; es wirkt auf ihn aber weiter dieselbe „nach innen“ gerichtete Zentripetalkraft. Diese ist im Gegensatz zur Fliehkraft keine Trägheitskraft, sondern eine in jedem Bezugssystem zu berücksichtigende ''äußere'' (reale) Kraft, die bewirkt, dass der Körper ständig nach innen beschleunigt und damit auf eine Kreisbahn gezwungen wird.

[[Datei:Feder-Ball-Kraefte Zentrifugal.svg|mini|Um einen Pfosten rotierender Ball, der von einer Feder (einfaches Modell eines Fadens) gehalten wird. Kraft (1) ist die Zentrifugalkraft. Alle anderen Kräfte sind entweder die Zentripetalkraft oder deren Reactio, da sie auf einer Wirkungslinie liegen.]]

Beispiele:

* Wird ein Insasse zum Beispiel durch einen Sicherheitsgurt, durch Haftreibung auf dem Sitz, durch Kontaktkräfte etc. in einem Auto ''festgehalten,'' so übt das im fahrzeugfesten rotierenden Bezugssystem eine der Zentrifugalkraft entgegengesetzte, gleich große Kraft auf ihn aus. Diese Kraft dient gerade als Zentripetalkraft, um den Insassen auf derselben gekrümmten Bahn zu halten, die das Auto durchläuft. In ''diesem Sinne'' sind Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft einander entgegengesetzte, gleich große Kräfte.
* Bei einem Astronauten, der in einem [[Satellit (Raumfahrt)|Satelliten]] die Erde umkreist, ist die Gravitationsbeschleunigung für die Raumkapsel und ihn gleich groß und sorgt als Zentripetalbeschleunigung dafür, dass beide die gleiche Kreisbahn um die Erde durchlaufen. Bei Beschreibung dieser Kreisbahn in einem Satellitensystem mit dem Ursprung im Erdmittelpunkt wirken zwei Kräfte auf den Astronauten: die Gravitationskraft und die Zentrifugalkraft. Dabei hebt die Zentrifugalkraft gerade die Schwerkraft auf.<ref>{{Literatur
 | Autor = Walter Greiner
 | Titel = Klassische Mechanik I
 | Verlag = Harri Deutsch
 | ISBN = 978-3-8171-1815-1
 | Datum = 2007
 | Online = {{Google Buch |BuchID = rxBQV9-GSo4C |Seite = 142}}
}}</ref>
* Der Faden, der einen Körper auf einer Kreisbahn hält, wird durch die Reaktionskraft zur Zentripetalkraft (Kraft (3) im nebenstehenden Bild) und die Kraft (4) (Zentripetalkraft) gespannt. Dies kann z.&nbsp;B. auch mit einer Federwaage unabhängig vom Bezugssystem gemessen werden. Nur im Spezialfall eines mit dem betrachteten Körper mitrotierenden Bezugssystems sind die Reaktion der Zentripetalkraft (3) und die Zentrifugalkraft (1) in [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Betrag]] ''und'' [[Richtung]] gleich, sonst jedoch nicht. Ihre [[Wirkungslinie|Angriffspunkte]] sind dagegen immer verschieden.

: In dieser Sichtweise übt die Feder eine Zentripetalkraft auf den Ball aus, sodass dieser auf eine Kreisbahn gezwungen wird, und umgekehrt zieht auch der Ball an der Feder.
: Überträgt man nebenstehendes Bild auf einen Menschen, der um einen Pfosten rotiert (die Feder symbolisiert den Arm, der Ball den Körper), so entspricht es der Alltagssprache, dass man eine nach außen ziehende Fliehkraft spürt und man diese durch das Festhalten an dem Pfosten ausgleichen muss. Wenn man die Kräfte (1) und (3) nicht unterscheidet und mögliche Widersprüche zum Wechselwirkungsprinzip ignoriert, ist eine solche Aussage auch möglich. Das Gefühl, nach außen gezogen zu werden, ist allerdings nicht Resultat der „wirkenden Fliehkraft“&nbsp;– die Dehnung im Arm wird durch die Zentripetalkraft (4) und deren Reactio (3) hervorgerufen und erweist sich damit als unabhängig vom Bezugssystem.

Fehlt die äußere Kraft (z. B. bei den Funken, die sich ablösen), so unterscheiden sich die Definitionen:
: <math>m\, \vec {a}{\;'} = \underbrace {-m\, \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec {r}{\;'})}_{\vec{F}_{\mathrm{zentrifugal}}} \underbrace {-m\, \dot {\vec \omega} \times \vec {r}{\;'}}_{\vec{F}_{\mathrm{Euler}}} \underbrace {-2 m\, \vec \omega \times \vec {v}{\;'}}_{\vec{F}_{\mathrm{Coriolis}}}</math>

Die Zentrifugalkraft ist nach dieser Definition an das Bezugssystem gekoppelt, aber unabhängig davon, ob eine äußere Kraft vorhanden ist oder nicht. Die Relativbewegung kann in diesem Fall aber nur durch eine Kombination mehrerer Scheinkräfte interpretiert werden, von denen z.&nbsp;B. auch die Corioliskraft eine radiale Richtung haben kann.

Beispiel:

Liegt auf dem Beifahrersitz ein Apfel, so sieht der Fahrer in jeder Kurve, wie der Apfel im Auto zur Seite beschleunigt wird. Hier wird die Beschleunigung des Apfels mit einer Scheinkraft erklärt, der keine gleich große Zentripetalkraft entgegensteht.

==== Flugbahn ====

Wenn bei einem Körper auf einer Kreisbahn schlagartig die Zentripetalkraft wegfällt, so beschreibt er im mitrotierenden Bezugssystem eine [[Kreisevolvente]] als Flugbahn, während er im nicht rotierenden Bezugssystem geradlinig in Richtung der [[Tangente]] weiterfliegt. Die Kreisevolvente zeigt nur in ihrem ersten Teilstück genau von der Rotationsachse weg.

== Praktische Beispiele ==

[[Datei:Centrifugal 0.PNG|mini|Wasseroberfläche in einem rotierenden Gefäß]]
[[Datei:Stirring in a glass of Water.jpg|mini|Rühren in einem Wasserglas]]

=== Rotierende Flüssigkeit ===

Bei einem mit Wasser gefüllten zylinderförmigen Gefäß, das um seine senkrechte Achse rotiert, nimmt die Wasseroberfläche eine gekrümmte Form an, wobei der Wasserstand außen höher ist als in der Mitte. Die Wasserteilchen werden durch eine Zentripetalkraft auf eine Kreisbahn gezwungen. Im stationären Zustand muss die Vektorsumme von Zentrifugalkraft und Gewichtskraft an jedem Punkt der Oberfläche auf dieser senkrecht stehen. Bezeichnet <math>g</math> die [[Erdbeschleunigung]], <math>r</math> den Abstand von der Rotationsachse {{Zeile|(<math>0 \le r \le R</math>)}} und <math>\alpha</math> den Winkel der Wasseroberfläche gegenüber der Waagrechten, so gilt:

: <math>\tan{\alpha} = \frac{{\omega}^2\;r}{g}</math>

Der Tangens des Winkels ist die [[Steigung]] der Wasseroberfläche:

: <math>\frac{dz}{dr} = \tan{\alpha}</math>

Da die Zentrifugalkraft proportional zum Abstand von der Achse ist, hat die Oberfläche die Form eines [[Rotationsparaboloid]]es und deren Querschnitt durch Integration die Gleichung:<ref>Peter R. Hakenesch: ''[http://hakenesch.userweb.mwn.de/fluidmechanik/skript_fluid.pdf Skript zur Vorlesung Fluidmechanik.]'' S.&nbsp;51&nbsp;ff. (PDF; 7.19&nbsp;MB).</ref>

: <math>z = \frac{{\omega}^2}{2\;g}\;r^2+z_0</math>

Aus der Volumenkonstanz ergibt sich für den Anstieg des Wasserstands am Rand des Glases:

: <math>H = \frac{{\omega}^2}{4\;g}\;R^2</math>

Die parabolische Form einer Licht reflektierenden Flüssigkeitsoberfläche findet Anwendung bei den [[Flüssiger Spiegel|flüssigen Spiegeln]] astronomischer [[Spiegelteleskop]]e, die im einfachsten Fall aus [[Quecksilber]] bestehen.

=== Schleudern von Wäsche ===

Eine [[Waschmaschine]] mit einem Trommeldurchmesser von 50&nbsp;cm hat im Schleudergang eine Drehzahl von 1200&nbsp;Umdrehungen pro Minute. Die Zentrifugalbeschleunigung für ein mitrotierendes Wäschestück ergibt sich zu

: <math>\omega = 130\, \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}, \qquad r = 0{,}25\,\mathrm{m}, \qquad a_\mathrm{Zf} = 4000 \,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.</math>

Hierbei ist <math>\omega</math> die [[Winkelgeschwindigkeit]].

Das Ergebnis entspricht etwa dem 400-Fachen der [[Erdbeschleunigung]]. Auf ein Kleidungsstück an der Trommelwand wirkt somit eine Zentrifugalkraft, die 400-mal so groß ist wie seine [[Gewichtskraft]].

=== Achterbahn ===

Die Zentrifugalkraft ist für die Konstruktion von [[Achterbahn]]en von Bedeutung, bei denen für den menschlichen Körper unangenehme Kräfte möglichst vermieden werden sollen, aber solche, die der Schwerkraft entgegenwirken und somit ein Gefühl der Schwerelosigkeit erzeugen, erwünscht sind.<ref>Verena Heintz, Ann-Marie Martensson-Pendrill, Anette Schmitt, Klaus Wendt: ''Achterbahn fahren im Physikunterricht.'' In: ''Physik in unserer Zeit.'' 2009, Heft&nbsp;2.</ref> Beispielsweise ergibt sich bei kreisförmigen Loopings, bei denen im höchsten Punkt gerade Schwerelosigkeit erzeugt wird, am Einstiegspunkt ein abrupter Anstieg der Beschleunigung um <math>5 g</math>, sodass für den mitbewegten Körper plötzlich die fünffache Gewichtskraft als Trägheitskraft auftritt. Deshalb wurde vom Achterbahnkonstrukteur [[Werner Stengel]] für Loopings eine [[Klothoide]]nform ([[Cornu-Spirale]]) der Bahnkurve entwickelt, bei der der Krümmungsradius umgekehrt proportional zur Bogenlänge ist, was zu einem sanften Anstieg der im Fahrzeug auftretenden Trägheitskräfte führt. Die Klothoide war zuvor schon im Straßenbau benutzt worden.

=== Technische Anwendungen ===

Technische Anwendungen der Zentrifugalkraft sind die [[Zentrifuge]], der [[Fliehkraftabscheider]], der [[Trieur#Schneckentrieur|Schneckentrieur]], das [[Fliehkraftpendel]] und der [[Fliehkraftregler]].

=== Zentrifugalkraft als Ersatz für die Schwerkraft ===

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 Gemini-12 Agena Tether.jpg|Agena-Raketenstufe am Sicherheitsband, zweiter Versuch mit [[Gemini&nbsp;12]] (1966)
 Nautilus-X Main Dimensions.png|[[Nautilus-X]] (NASA-Entwurf von 2011)
 RADFOERMIGE ROTIERENDE HERMAN POTOCNIK RAUMSTATION.PNG|Rotierende radförmige Raumstation, Entwurf von [[Herman Potočnik]] (Pseudonym: Hermann Noordung, 1929)
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Für künftige [[Raumstation]]en unterschiedlicher Größe hat man geplant, die Zentrifugalkraft als Ersatz für die Schwerkraft zu verwenden, weil längere [[Schwerelosigkeit]] der Gesundheit des Menschen schaden kann. Der erste Versuch, in einem bemannten Raumfahrzeug Zentrifugalkraft zu nutzen, fand im Jahre 1966 statt. Dabei hat man die [[Gemini 11#Flugverlauf|Gemini-11]]-Kapsel mit der [[Agena#Agena D|Agena]]-Raketenstufe durch ein 30&nbsp;Meter langes [[Space Tether#Forschungsprojekte und Experimente zum Thema|Sicherheitsband]] verbunden und beide Objekte mit etwa einer Umdrehung alle sechs Minuten um den gemeinsamen Schwerpunkt rotieren lassen.

In einer rotierenden Raumstation zeigt ein [[Lot (Werkzeug)|Lot]] an jedem Ort von der Rotationsachse weg. Frei „fallende“ Gegenstände entfernen sich immer mehr von der Lotrichtung in einer entgegen der Rotationsrichtung der Raumstation gerichteten Richtung. Diese Abweichung kann als eine Folge der [[Corioliskraft]] aufgefasst werden. Die [[Bahnkurve]] eines frei fallenden Gegenstands hat im rotierenden Bezugssystem die Form einer [[Kreisevolvente]]. Sie ist von der Rotationsgeschwindigkeit der Raumstation unabhängig. Jedoch hängt der Größenmaßstab der Kreisevolvente vom Radius der anfänglichen Kreisbahn ab. Von einem nicht rotierenden Bezugssystem aus gesehen bewegen sich frei „fallende“ Gegenstände mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geraden Linie, die tangential zu ihrer vorherigen Kreisbahn liegt.

Wirft man in der Raumstation einen Gegenstand mit der ihm entsprechenden Rotationsgeschwindigkeit entgegen der Rotationsrichtung, so würde der Gegenstand von einem nichtrotierenden Bezugssystem aus gesehen stillstehen, während sich die Raumstation an ihm vorbeidreht. Im Bezugssystem der Raumstation gesehen, vollführt der Gegenstand also eine Kreisbahn um die Drehachse und kommt, wenn es längs der Bahn keinen Reibungswiderstand gibt, nach einer Umrundung wieder am Ausgangspunkt an.

== Einzelnachweise ==

<references>
<ref name="Paus">{{Literatur
 | Autor = [[Hans Paus|Hans J. Paus]]
 | Titel = Physik in Experimenten und Beispielen
 | Auflage = 3., aktualisierte
 | Verlag = Hanser
 | Ort = München
 | Datum = 2007
 | ISBN = 3-446-41142-9
 | Seiten = 33–35
 | Online = {{Google Buch | BuchID = DJcRnjNVo0wC | Seite = 33}}
}}</ref>
<ref name="ass">{{Literatur
 | Autor = Bruno Assmann, Peter Selke
 | Titel = Kinematik und Kinetik
 | Reihe = Technische Mechanik
 | Band = Band 3
 | Auflage = 15., überarbeitete
 | Verlag = Oldenbourg
 | Ort = München
 | Datum = 2011
 | Seiten = 252
 | ISBN = 978-3-486-59751-6
 | Online = {{Google Buch|BuchID=w_bK8miERB0C|Seite=252}}
}} „Die Zentrifugalkraft ist die Reaktionskraft der Zentripetalkraft, die die gekrümmte Bahn erzwingt.“</ref>
<ref name="gross">{{Literatur
 | Titel = Technische Mechanik. Band 3: Kinetik
 | Autor = Dietmar Gross, Werner Hauger, Jarg Schrader, Wolfgang A. Wall
 | Datum = 2008
 | Auflage = 10.
 | Seiten = 191
 | Verlag = Gabler Wissenschaftsverlage
 | ISBN = 978-3-540-68422-0
 | Online = {{Google Buch | BuchID = jfEwnhV9DlYC | Seite = 191}}
}} „Wir schreiben nun <math>F-ma=0</math> und fassen das negative Produkt aus der Masse <math>m</math> und der Beschleunigung <math>a</math> formal als eine Kraft auf, die wir […] D’Alembertsche Trägheitskraft <math>F_T</math> nennen: <math>F_T=-ma</math>. Diese Kraft ist keine Kraft im Newtonschen Sinne, da zu ihr keine Gegenkraft existiert (sie verletzt das Axiom actio=reactio!), wir bezeichnen sie daher als Scheinkraft.“
</ref>
<ref name="bergmann">{{Literatur
 | Autor = [[Ludwig Bergmann (Physiker)|Ludwig Bergmann]], [[Clemens Schaefer]]
 | Herausgeber = Thomas Dorfmüller
 | Titel = Mechanik, Relativität, Wärme
 | Reihe = Lehrbuch Der Experimentalphysik
 | Band = Band 1
 | Auflage = 11., völlig neubearbeitete
 | Verlag = de Gruyter
 | Ort = Berlin
 | Datum = 1998
 | Seiten = 240ff
 | ISBN = 3-11-012870-5|Online={{Google Buch |BuchID=EZ3VoXHh5ucC |Seite=249}}}}
</ref>
<ref name="lanc">{{Literatur
 | Autor = Cornelius Lanczos
 | Titel = The Variational Principles of Mechanics
 | Seiten = 88–110
 | Datum = 1986
 | ISBN = 0-486-65067-7
 | Verlag = Courier Dover Publications
 | Ort = New York
 | Online = {{Google Buch | BuchID = ZWoYYr8wk2IC | Seite = 88 | Hervorhebung = "force of inertia"}}
}} S. 88: „We now define a vector I by the equation I = -m A. This vector I can be considered as a force created by the motion. We call it the “force of inertia”. With this concept the equation of Newton can be formulated as follows: F + I = 0.“</ref>
<ref name="mahnken">{{Literatur
 | Autor = Mahnken
 | Titel = Lehrbuch der Technischen Mechanik. Dynamik
 | Datum = 2012
 | ISBN = 978-3-642-19837-3
 | Verlag = Springer
 | Online = {{Google Buch | BuchID = DO5vOTzeu2wC | Seite = 111 | Hervorhebung = "Zentrifugalkraft"}}
}} „Wir bemerken noch, dass die Zentrifugalkraft jeweils mit der Zentripetalkraft im Gleichgewicht ist, welche zum Mittelpunkt hin gerichtet ist.“</ref>
<ref name="Böge">
{{Literatur
 | Autor = Alfred Böge, Wolfgang Böge, Klaus-Dieter Arnd u. a.
 | Titel = Handbuch Maschinenbau: Grundlagen und Anwendungen der Maschinenbau-Technik Gebundene Ausgabe – 22. Auflage
 | Verlag = Springer Verlag
 | Datum = 2014
 | ISBN = 978-3658065973
 | Online = [https://books.google.de/books?id=DFrEBQAAQBAJ&pg=RA1-PA14&dq=dynamisches+gleichgewicht&hl=de&sa=X&ei=e2-JVduzC4zlUaKEgvgB&ved=0CEcQ6AEwBg#v=onepage&q=dynamisches%20gleichgewicht&f=false Vorschau]
}}</ref>
<ref name="szabo">{{Literatur
 | Titel = Einführung in die Technische Mechanik
 | Datum = 2003
 | Autor = Szabo
 | ISBN = 3-540-44248-0
 | Verlag = Springer
 | Online = {{Google Buch | BuchID = WXLMb9AZw8gC | Seite = 260}}
}}</ref>
<ref name="mayr">{{Literatur
 | Autor = Martin Mayr
 | Titel = Technische Mechanik: Statik, Kinematik – Kinetik – Schwingungen, Festigkeitslehre
 | Auflage = 6. überarbeitete
 | Verlag = Hanser
 | Datum = 2008
 | ISBN = 978-3-446-41690-1
 | Online = {{Google Buch | BuchID =36eYLUWU-MgC | Seite = 147}}
}} „Bei der Bewegung auf einer gekrümmten Bahn tritt zusätzlich die Normal- oder Zentripetalbeschleunigung auf. Die zugehörige Trägheitskraft nennen wir Zentrifugalkraft.“</ref>
<ref name="her">{{Literatur
 | Autor = Ekbert Hering, Rolf Martin, Martin Stohrer
 | Titel = Physik für Ingenieure
 | Auflage = 11.
 | Verlag = Springer
 | Datum = 2012
 | ISBN = 978-3-642-22568-0
 | Seiten = 51–52
 | Online = {{Google Buch | BuchID = 1_uGq8yGmg0C | Seite = 51}}
}}</ref>
</references>

== Weblinks ==

{{Wiktionary}}
{{Wiktionary|Fliehkraft}}
* [http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/kreisbewegung/ausblick#Zentrifugalkraft Zentrifugalkraft auf Schülerniveau] bei [[LEIFI]]
* {{TIBAV |10796 |Linktext=Coriolis- und Zentrifugalkraft im rotierenden Bezugssystem |Herausgeber=IWF |Jahr=2007 |DOI=10.3203/IWF/C-13095}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4257608-8|LCCN=sh/85/21931}}

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Zentrifugation]]