Quelltext der Seite Yang-Mills-Theorie

Die '''Yang-Mills-Theorie''' (nach den Physikern [[Chen Ning Yang]] und [[Robert L. Mills]]) ist eine ''nicht''-[[Niels_Henrik_Abel #Eponyme|abelsche]] [[Eichtheorie]], die zur Beschreibung der [[Starke Wechselwirkung|starken]] und der [[Schwache Wechselwirkung|schwachen Wechselwirkung]] herangezogen wird. Sie wurde 1954 von Yang und Mills eingeführt<ref>Yang, Mills ''Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance'', Physical Review, Band 96, 1954, S.191–195, [http://prola.aps.org/abstract/PR/v96/i1/p191_1 Abstract]</ref> sowie unabhängig davon um die gleiche Zeit in der Dissertation von [[Ronald Shaw]] bei dem Physiker [[Abdus Salam]].

Dieser Artikel beschreibt vorwiegend die mathematischen Aspekte des [[Interdisziplinarität|interdisziplinären]] Phänomens. Die physikalischen Aspekte werden vor allem bei einem der wichtigsten Beispiele für Yang-Mills-Theorien besprochen, der [[Quantenchromodynamik]].

Die Theorie ist im Allgemeinen nichtabelsch, also nicht [[kommutativ]]. Sie enthält jedoch auch als Spezialfall die [[Quantenelektrodynamik]] als [[abelsch]]e Eichtheorie. 

== Yang-Mills-Wirkung und Feldgleichungen ==
Die Yang-Mills-Theorie geht von der Yang-Mills-[[Wirkung (Physik)|Wirkung]] <math>\mathbf S_\mathrm{YM}</math> für die [[Eichboson]]en aus:

:<math>\mathbf S_\mathrm{YM} = \frac{1}{4g^2} \int \operatorname{Tr} \left( *F \wedge F \right)</math> 

* Die positive Größe&nbsp;<math>g</math> bedeutet in der Physik die [[Kopplungskonstante|Wechselwirkungskonstante]].
* Die Größe <math>F</math> heißt ''Yang-Mills-Feldstärke''
* <math>*F</math> ist die zu <math>F</math> [[Hodge-Operator|duale]] Yang-Mills-Feldstärke. Der [[Dualität (Mathematik)|Dualität]]s<nowiki/>operator&nbsp;* ist bezüglich der Indizes&nbsp;''μ'' und&nbsp;''ν'' (s.&nbsp;u.) mit der [[Signatur (Lineare Algebra)|Signatur]] des [[Minkowski-Raum]]s <math>\mathbb M^4</math> zu bilden, z.&nbsp;B. mit&nbsp;(+−−−). Bezüglich der Indizes&nbsp;''a'' muss man entsprechend der betrachteten Gruppe vorgehen. Analoges gilt auch für die [[Spur (Mathematik)|Spur]]&nbsp;''Tr'' (Abkürzung für engl.&nbsp;''trace''). Obere und untere Indizes sowie die Reihenfolge von Doppelindizes werden durch die *-Operation vertauscht. Das Yang-Mills-Funktional kann also auch in der expliziten Form geschrieben werden:

:<math>\mathbf S_\mathrm{YM} = \frac{1}{4g^2}\int \, \mathrm{d}^4 x \, F^{\nu\mu}_a \cdot F_{\mu\nu}^a</math>

Wendet man jetzt das [[Prinzip der kleinsten Wirkung]] auf die Eichbosonenfelder in <math>\mathbf S_\mathrm{YM}</math> an, so erhält man als zugehörige [[Euler-Lagrange-Gleichungen]] die ''Yang-Mills-Gleichungen'':

:<math>\mathcal{D}F := \mathrm{d}F + g \, A \wedge F \equiv 0</math> 

wobei der Term&nbsp;<math>\sim g </math> die ''Yang-Mills-Ladungen'' enthält.

Hier wurde die mathematische Sprache der [[Differentialform]]en verwendet, die eine kompakte Notierung erlaubt. Ebenso ist dadurch die Wirkung in Formensprache nicht auf vier Dimensionen beschränkt und kann in dieser Darstellung z.B. für eine Yang-Mills-Theorie in einem <math>d+1</math>-dimensionalen Minkowskiraum mit Metriksignatur <math>1-d</math> verwendet werden. Yang-Mills-Theorien in höheren Dimensionen und ihre supersymmetrischen Erweiterungen sind z.B. für [[AdS/CFT-Korrespondenz]] relevant.

Die Yang-Mills-Feldstärke ist durch die zweite [[Maurer-Cartan-Strukturgleichung]] definiert, die den [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|differentialgeometrischen Zusammenhang]] <math>A</math> (genauer gesagt dessen [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|lokale Darstellung]]) eines [[Prinzipalbündel|Hauptfaserbündels]] (in der Physik ''Eichpotential'' bzw. ''Eichbosonfeld'' genannt) mit seiner [[Krümmung]] <math>F</math> (in der Physik [[Elektrische Feldstärke|Feldstärke]] bzw. [[Feldstärketensor]] genannt) in Verbindung bringt:

:<math>F : = \mathrm{d}A +g A \wedge A</math>

Wie oben ist
* <math>A</math> eine [[Lie-Algebra]]-wertige [[1-Form]] über dem Hauptfaserbündel
* <math>F</math> eine Lie-Algebra-wertige 2-Form über diesem Hauptfaserbündel
* <math>\mathrm{d}A</math> die [[Cartan-Ableitung|äußere Ableitung]]
* <math>A \wedge A</math> das [[äußeres Produkt|äußere Produkt]] von Differentialformen, das hier zwischen den <math>A</math> ''nicht'' verschwindet, da die Lie-Algebra-Komponenten von <math>A</math> im Allgemeinen nicht vertauschen.

Aus diesem Grunde ist die Feldform <math>F</math> auch nicht „geschlossen“ <math>(\mathrm dF = 0),</math> im Gegensatz zu abelschen Eichtheorien wie der [[Elektrodynamik]].

In Komponentenschreibweise gilt wie in der Quantenchromodynamik: 

:<math>F^a_{\mu \nu} = \partial_\mu A^a_{\nu} - \partial_\nu A^a_\mu + g f^a_{bc} A^b_\mu A^c_\nu</math>

und die Yang-Mills-Gleichungen werden in dieser Schreibweise (wenn man, wie üblich, auf der rechten Seite noch einen Quellenterm einfügt):

:<math>\partial^\mu F_{\mu\nu}^a + gf^{a}_{bc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c\equiv J_\nu^a</math>

In der Physik betrachtet man meist eine kompakte, [[halbeinfach]]e [[Lie-Gruppe]] <math>G</math>, etwa <math>SU(N)</math> oder <math>SO(N)</math>, deren [[Hermitescher Operator|hermitesche]] [[Erzeuger (Algebra)|Generatoren]] folgende [[Kommutativgesetz|Kommutationsrelation]] erfüllen:

:<math>\left[ T_a, T_b \right] = i f_{ab}^c \, T_c</math>

Die <math>f_{ab}^c</math> heißen (reelle) [[Strukturkonstante]]n der Lie-Gruppe.

Ein beliebiges Element <math>U</math> von <math>G</math> wird durch folgende Gleichung dargestellt:

:<math>U = e^{i g \theta^a\, T_a}</math>

== Dirac-Teilchen in der Yang-Mills-Theorie ==
Die [[Wellenfunktion]] (Dirac-Feld) <math>\psi</math> eines (mit Yang-Mills-Ladungen) geladenen Teilchens transformiert unter <math>U \in G</math> so:

:<math>\psi       \to U \, \psi</math> bzw.
:<math>\bar{\psi} \to \bar{\psi} \, U^\dagger</math>

Das gilt allerdings nur für Teilchen, die nach der [[Darstellungstheorie|fundamentalen Darstellung]] der [[Eichgruppe]] transformieren.

Die [[Lagrange-Funktion]] für das Dirac-Feld, aus der über die Euler-Lagrangegleichungen die [[Bewegungsgleichung]]en des dadurch beschriebenen geladenen [[Fermion]]s folgen, sieht wie folgt aus:

:<math>\mathcal{L}(\psi, A) := \bar{\psi} \, \left[ \mathrm i \, \gamma^\mu \left( \partial_\mu - i g \, \hat A_\mu \right) + m \right] \psi + \dots \,</math>

Diese Lagrange-Funktion beschreibt die Kopplung des Yang-Mills-Feldes <math>A</math> („Eichfeld“) an die Materie- bzw. Dirac-Felder <math>\psi</math>:
* <math>g</math> ist die oben angegebene Kopplungskonstante,
* <math>\gamma</math> eine [[Dirac-Matrizen|Dirac-Matrix]]
* Der Ausdruck <math>\partial_\mu - i g \, \hat A_\mu =: \nabla_\mu</math> wird [[kovariante Ableitung]] oder [[minimale Kopplung]] genannt.
* Die Variablen <math>\hat A_\mu</math> bilden die [[Vierervektor]]-Komponenten der zusätzlich noch Lie-Algebra-wertigen 1-Form <math>A</math> &nbsp;(d.&nbsp;h., die Indizes&nbsp;''a'' sind zur Vereinfachung weggelassen; meist lässt man auch das Symbol&nbsp;^ weg, was hier der Deutlichkeit halber bei der kovarianten Ableitung ''nicht'' geschieht).
* Bei Berücksichtigung von Dirac-Teilchen kommt in der Gesamtwirkung auch noch der oben erwähnte Feld-Anteil hinzu, der hier durch Punkte angedeutet ist und ''nicht'' explizit von&nbsp;<math>\psi</math> abhängt.

Wenn die Yang-Mills-Theorie zur Beschreibung der starken Wechselwirkung eingesetzt wird (und zwar in Form einer <math>SU(3)</math>-Eichtheorie, der schon erwähnten [[Quantenchromodynamik]]), dann beschreibt <math>A</math> das [[Gluon]]<nowiki/>feld. Die o.g. <math>T_a</math> stellen die acht Gluonenarten dar (die <math>SU(3)</math> hat 8&nbsp;Generatoren, üblicherweise verwendet man zu ihrer Darstellung die [[Gell-Mann-Matrizen]]).

Einige wichtige Yang-Mills Theorien mit geladenen Fermionen-Materiefeldern besitzen die Eigenschaft der [[Asymptotische Freiheit|asymptotischen Freiheit]] bei hohen Energien bzw. kurzen Abständen, was von der Eichgruppe und der Anzahl der Fermionentypen abhängt.

== Offene Probleme ==
Ein großer Fortschritt in der Durchsetzung der Yang-Mills-Theorien in der Physik war der Nachweis ihrer [[Renormierbarkeit]] durch [[Gerardus ’t Hooft]] Anfang der 1970er Jahre. Die Renormierbarkeit gilt auch, wenn die Eichbosonen massiv sind wie in der [[elektroschwache Wechselwirkung|elektroschwachen Wechselwirkung]]. Die Massen werden nach dem [[Standardmodell]] durch den [[Higgs-Mechanismus]] erworben.

In der Mathematik ist die Yang-Mills-Theorie aktuelles Forschungsgebiet und diente z.&nbsp;B. [[Simon Donaldson]] zur Klassifikation differenzierbarer Strukturen auf 4-[[Mannigfaltigkeit]]en. Die Yang-Mills-Theorie wurde vom [[Clay Mathematics Institute]] in die Liste der [[Millennium-Probleme]] aufgenommen. Insbesondere geht es bei diesem Preis-Problem darum nachzuweisen, dass die niedrigsten [[Angeregter Zustand|Anregungen]] einer reinen Yang-Mills-Theorie (d.&nbsp;h. ohne Materiefelder) eine endliche (d.h. hier, nicht-verschwindende) Masse bzw. [[Anregungsenergie]] haben müssen (d.&nbsp;h., es besteht ein ''Mass-Gap'' – in der Festkörperphysik würde man sagen: eine [[Energielücke]] – zum [[Vakuumzustand]]).<!-- &nbsp;<ref>In der [[Supraleiter|Theorie der Supraleitung]], die durch eine massive, nicht relativistische abelsche Yang-Mills-Theorie beschrieben werden kann, ist das in der Regel der Fall und man spricht von dem sog. „Gap-Parameter“ der Theorie. Es gibt aber bei ungeordneten Systemen als Regelfall auch die sog. „gapless superconductivity“. Analog könnte bei Yang-Mills-Theorie ein Gap zwar die Regel sein, in durchaus relevanten Ausnamefällen könnte aber ''kein'' Gap auftreten.</ref> --> Ein damit zusammenhängendes weiteres offenes Problem ist der Nachweis der vermuteten [[Confinement]]-Eigenschaft von Yang-Mills-Feldern in Wechselwirkung mit Fermionenfeldern.

In der Physik erfolgen die Untersuchung von Yang-Mills-Theorien inzwischen nicht mehr über [[Störungstheorie|störungstheoretische]] analytische Methoden, sondern über Gitterrechnungen&nbsp;([[Gittereichtheorie]]n) oder funktionale Methoden wie z.&nbsp;B. [[Dyson-Schwinger-Gleichungen]].

== Terminologie-Gegenüberstellung==
In der Mathematik bzw. der Physik bestehen ganz unterschiedliche Terminologien, die hier systematisch gegenübergestellt werden: So erzeugt man in der Mathematik aus <math>A</math> den [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|differentialgeometrischen Zusammenhang]], während man in der Physik vom [[Vektorpotential]] des Feldes redet, welches unter anderem dessen Teilchen erzeugt (z.&nbsp;B. die [[Eichtheorie|Eichteilchen]] der [[Elementarteilchenphysik]]). Mit <math>\Omega</math> bzw. <math>F</math> bezeichnet man in der Mathematik die [[Krümmung]], in der Physik dagegen den [[Feldtensor]]. Der Ausdruck  <math>\, A \wedge A </math> bezeichnet in beiden Terminologien einen antisymmetrischen Anteil (Lie-Kommutator) der Krümmungsform bzw. des Feldstärketensors. Die Physiker sprechen in diesem Zusammenhang von [[Strukturkonstante]]n des Tensors.

== Literatur ==
* Gerardus 't Hooft (Herausgeber, Physiker): ''50 years of Yang-Mills theory.'' World Scientific, Singapore 2005, ISBN 981-256-007-6
* Keith J. Devlin (Mathematiker): ''The Millennium problems – the seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time.'' Granta Books, London 2005, S. 63–97, ISBN 1-86207-735-5
* Michael F. Atiyah (Mathematiker): ''Geometry of Yang-Mills fields.'' Scuola Normale Superiore, 1979
* Mikio Nakahara (Physiker): ''Geometry, Topology and Physics. Second Edition.'' Graduate Student Series in Physics. Institute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia, 2003, S. 374–418, ISBN 0 7503 0606 8

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Yangmillstheorie}}
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Teilchenphysik]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]