Quelltext der Seite N-Vektor-Modell

{{SEITENTITEL:''n''-Vektor-Modell}}
Das '''''n''-Vektor-Modell''' oder auch '''O(''n'')-Modell''' ist ein Modell der [[statistische Physik|statistischen Physik]]. Es handelt sich dabei um ein stark vereinfachtes (oder effektives) Modell zur Beschreibung von [[Phasenübergang|Phasenübergangen]], [[Kritisches Phänomen|kritischem Verhalten]] und [[Magnetismus]].

== Klassische Formulierung  ==
Im Modell sind ([[klassische Physik|klassische]]) [[Spin]]s <math>\vec{S}</math> mit ''n''&nbsp;Komponenten auf den Gitterpunkten eines [[Kristallgitter]]s platziert. In der ursprünglichen Formulierung<ref>H. E. Stanley, Phys. Rev. Lett. 20,589 (1968); Phys Rev. 176, 718 (1968)</ref> des Modells von [[Eugene Stanley|H.&nbsp;E.&nbsp;Stanley]] aus dem Jahre&nbsp;1968 wechselwirken dabei lediglich die am nächsten benachbarten Spins <math>\vec{S}_i</math> und <math>\vec{S}_j</math> miteinander (''nächste Nachbar-Wechselwirkung''), und die Spins besitzen Einheitslänge. Die [[Hamilton-Funktion]] ist gegeben als: 

:<math>H = -J \sum_{<i, j>} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j</math>

mit der [[Kopplungskonstante]] <math>J</math>.

Die Spins besitzen die [[Dimension (Größensystem)|Dimension]]&nbsp;''n'', dass Kristallgitter kann aber eine davon unterschiedliche Dimension&nbsp;''d'' besitzen.

Das ''n''-Vektor-Modell enthält als Spezialfälle folgende intensiv untersuchte Modelle der statistischen Physik, in denen auch die Diskussion des Modells am besten geschieht:

:<math>n=0</math> – [[Self-avoiding walk|Self-Avoiding Walks (SAW)]]
:<math>n=1</math> – das [[Ising-Modell]] 
:<math>n=2</math> – das (klassische) [[XY-Modell]] 
:<math>n=3</math> – das (klassische) [[Heisenberg-Modell]].

=== Verallgemeinerungen ===
Eine übliche Verallgemeinerung des Modells in allen Spezialfällen ist, nicht nur die Wechselwirkung der nächsten Nachbarn zu betrachten, sondern auch die Wechselwirkungen zwischen weiter entfernten Nachbarn. Dabei kann auch die Kopplungskonstante vom Ort abhängen. Der Hamiltonian ist dann gegeben als: 

:<math>H = \sum_{i,j}J_{ij} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j \qquad i, j: \, \mathrm{Gitterpl \ddot atze}</math>

Weitere Verallgemeinerungen sind in den jeweiligen Spezialfällen angegeben.

== Quantenmechanische Formulierung ==
In der [[quantenmechanisch]]en Formulierung betrachtet man nicht mehr klassische, sondern quantenmechanische Spins, ausgedrückt über [[Drehimpulsoperator #Spinoperator|Spinoperatoren]]. Einer der Hauptunterschiede zwischen ihnen besteht darin, dass die Spinoperatoren in verschiedenen Dimensionen&nbsp;''n'' nicht mehr vertauschen ([[Kommutator (Mathematik)|kommutieren]]). Die Spezialfälle des ''n''-Vektor-Modells sind dann:

:<math>n=0</math> – [[Self-avoiding walk|Self-Avoiding Walks (SAW)]]
:<math>n=1</math> – das [[Ising-Modell]] 
:<math>n=2</math> – das (quantenmechanische) [[XY-Modell]] 
:<math>n=3</math> – das [[Heisenberg-Modell (Quantenmechanik)|(quantenmechanische) Heisenberg-Modell]].

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Statistische Physik]]