Quelltext der Seite Mandelstam-Variable

Bei den '''Mandelstam-Variablen''' ''s'', ''t'' und ''u'' (nach [[Stanley Mandelstam]], der sie 1958 einführte) handelt es sich um Kurzschreibweisen für Terme, die in der [[Teilchenphysik]] bei der Berechnung von [[Streuprozess]]en mit zwei einlaufenden und zwei auslaufenden Teilchen häufig auftauchen.

Sind die [[Viererimpuls]]e der beiden einlaufenden Teilchen mit <math>p_1, p_2</math> und die der auslaufenden Teilchen mit <math>p_3, p_4</math> bezeichnet, so sind die Mandelstam-Variablen gegeben durch:

:<math>s = (p_1 + p_2)^2 = (p_3 + p_4)^2</math> ist gleich dem Quadrat der [[Schwerpunktsenergie]] des Systems. 
:<math>t = (p_1 - p_3)^2 = (p_2 - p_4)^2</math> ist gleich dem Quadrat des Viererimpuls-Übertrags bei einem gewöhnlichen  Streuprozess wie der Elektron-Nukleon Streuung (t-Kanal).
:<math>u = (p_1 - p_4)^2 = (p_2 - p_3)^2</math>

Das in diesen Definitionen auftauchende Quadrat von Viererimpulsen ist dabei - wie in der [[relativistische Physik|relativistischen Physik]] üblich - definiert als <math> p^2 := p_\mu p^\mu</math> (siehe [[Vierervektor]]). Die Mandelstam-Variablen sind damit [[Lorentzinvarianz|lorentzinvariante Skalare]] ebenso wie die [[Streuamplitude]] selbst, die durch sie in relativistisch invarianter Weise ausgedrückt werden soll.

Die drei Mandelstamvariablen sind nicht voneinander unabhängig: ihre Summe ist gleich der Summe der Massenquadrate der beteiligten Teilchen:

:<math>s + t + u = p_1{}^2 + p_2{}^2 + p_3{}^2 + p_4{}^2 = m_1{}^2 + m_2{}^2 + m_3{}^2 + m_4{}^2</math>,

wobei wie in der Teilchenphysik üblich der dimensionslose Wert&nbsp;c=1 für die [[Lichtgeschwindigkeit]] angenommen ist ([[natürliche Einheiten]]).

Allgemein sollte die Streuamplitude, da sie eine relativistische Invariante ist, von den relativistischen Invarianten <math>{p_i}^2</math> (i = 1, 2, 3, 4) und den sechs möglichen unabhängigen (relativistischen) [[Skalarprodukt]]en <math> p_1 \cdot p_2,  p_1 \cdot p_3,  p_1 \cdot p_4,  p_2 \cdot p_3,  p_2 \cdot p_4,  p_3 \cdot p_4 </math> abhängen – auch die Mandelstamvariablen s, t, u sind aus diesen als [[Linearkombination]] zusammengesetzt. Die  <math>{p_i}^2</math> sind keine Variablen wegen <math>{p_i}^2 = {m_i}^2</math> (die äußeren Beine der [[Feynmandiagramm]]e sind ''on shell''). Wegen der [[Erhaltungssatz|Erhaltung]] <math> p_1 + p_2 =  p_3 + p_4</math> der Viererimpulse (was vier Gleichungen ergibt, da die <math>p_i</math> je vier Komponenten haben) sind von den sechs Skalarprodukten <math>p_i \cdot p_j</math> nur zwei unabhängig. Also sind auch nur zwei der Mandelstamvariablen unabhängig, die dritte ergibt sich aus der o.g. Summe.

== s-, t- und u-Kanal ==
Die Beiträge zum Streuprozess, in denen die jeweiligen Mandelstam-Variablen bei ihrer Berechnung auftauchen, werden als s-, t- und u-Kanal bezeichnet. Die zugehörigen [[Feynman-Diagramm|Feynman-Diagramme]] sind in den folgenden Abbildung gezeigt.
{|cellpadding="10"
|[[Bild:Feynman-s-channel.svg|thumb|s-Kanal]]
|[[Bild:Feynman-t-channel.svg|thumb|hochkant|t-Kanal]]
|[[Bild:Feynman-u-channel.svg|thumb|hochkant|u-Kanal]]
|}
Die Darstellung folgt der Konvention, dass die einlaufenden Teilchen als von links kommende Linien und die Streuprodukte als nach rechts auslaufende Linien dargestellt sind. Die gestrichelte Zwischenlinie stellt ein [[virtuelles Teilchen]] dar; das Quadrat seines Viererimpulses ist dem jeweiligen Diagramm entsprechend gleich ''s'', ''t'' oder ''u''.

Beispielsweise gibt das Diagramm für den s-Kanal eine [[Elektron]]-[[Positron]]-[[Paarvernichtung]] auf der linken Seite unter Bildung eines virtuellen Photons und einer Elektron-Positron-[[Paarerzeugung]] auf der rechten Seite wieder. Auch die Bildung eines instabilen Zwischenzustands ([[Resonanz #Teilchenphysik|Resonanz]]) bei der Wechselwirkung zweier Teilchen wird so wiedergegeben. Eine gewöhnliche Elektron-Elektron-Streuung wird durch das Diagramm des t-Kanals wiedergegeben (wobei der u-Kanal mit betrachtet werden muss, bei dem die äußeren Beine 3,4 des Diagramms vertauscht sind).

In der Streuamplitude werden den Regeln der [[Quantenmechanik]] entsprechend alle möglichen Prozesse mit virtuellen Teilchen vom Typ s, t, u aufsummiert, da nur die Anfangszustände 1,2 und Endzustände 3,4, aber nicht die virtuellen Teilchen der Zwischenzustände beobachtet werden.

[[Kategorie:Teilchenphysik]]