Quelltext der Seite Lagrange-Punkte

[[Datei:Lagrange very massive.svg|mini|hochkant=1.7|Lagrange-Punkte L<sub>'''1'''</sub> bis L<sub>'''5'''</sub> in einem System aus Zentralgestirn (gelb) und Planet (blau): L<sub>'''4'''</sub> läuft dem Planeten voraus, L<sub>'''5'''</sub> hinterher]]
[[Datei:Lagrangian points equipotential.jpg|mini|hochkant=1.7|[[Äquipotentiallinien]] des [[Schwerefeld]]es im mitrotierenden Bezugssystem als Gummimatten-Modell in violett eingezeichnet. Schnitt in der Umlaufebene, Massenverhältnis 1:10, damit sich L<sub>'''1'''</sub> und L<sub>'''2'''</sub> deutlich absetzen.<ref>Z. F. Seidov: [http://iopscience.iop.org/0004-637X/603/1/283/fulltext/59132.text.html ''The Roche Problem: Some Analytics.''] In: ''The Astrophysical Journal.'' 603:283-284, 1.&nbsp;März 2004.</ref><!-- Die Lotlinien (oder Schatten(?) der ebenfalls überflüssigen grünen Stäbe) sollten entfernt werden, sie könnten als Falllinien missverstanden werden, geben nicht die Dynamik wieder -->]]

Die '''Lagrange-Punkte''' oder '''Librationspunkte''' (von {{laS|''librare''}} „das Gleichgewicht halten“) sind fünf Punkte im System zweier [[Himmelskörper]] (beispielsweise eines [[Stern]]s und eines ihn umkreisenden [[Planet]]en), an denen ein leichter Körper (etwa ein [[Asteroid]] oder eine [[Raumsonde]]) antriebslos den massereicheren Himmelskörper umkreisen kann, wobei er dieselbe Umlaufzeit wie der masseärmere Himmelskörper hat und sich seine Position relativ zu diesen beiden nicht ändert. Im Falle eines künstlichen Körpers ist dieser dann ein [[Satellit (Raumfahrt)|Satellit]] um den massereicheren Himmelskörper, aber kein Satellit um den masseärmeren Himmelskörper.

Mathematisch betrachtet sind die Lagrange-Punkte die Gleichgewichtspunkte des [[Dreikörperproblem#Sonderfall|eingeschränkten Dreikörperproblems]]. Das allgemeine Dreikörperproblem der [[Himmelsmechanik]] ist nur [[Numerische Mathematik|numerisch]] lösbar. Mit der Einschränkung, dass der dritte Körper eine vernachlässigbare Masse hat, fanden [[Leonhard Euler]] und [[Joseph-Louis Lagrange]] fünf [[Analysis|analytische]] Lösungen: In den nach Lagrange L<sub>'''1'''</sub> bis L<sub>'''5'''</sub> genannten Punkten können dritte Körper kräftefrei ruhen. Es handelt sich um Nullstellen des [[Schwerefeld]]es in jenem rotierenden [[Bezugssystem]], in dem auch die beiden schweren [[Himmelskörper]] (z.&nbsp;B. Sonne und Planet) ruhen. Das heißt, die [[Gravitationskraft|Gravitationskräfte]] der beiden Körper auf den Probekörper werden gerade von der [[Zentrifugalkraft]] (aufgrund der Rotation des Bezugssystems) aufgehoben. Zusätzlich wäre die [[Corioliskraft]] zu berücksichtigen, die aber in den Lagrangepunkten ohne Auswirkung ist. In einem nichtrotierenden Bezugsystem laufen die Lagrange-Punkte synchron mit den beiden Himmelskörpern auf Kreisbahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt.

== Lage der Lagrange-Punkte ==
Alle fünf Lagrange-Punkte liegen in der Bahnebene der beiden schweren Körper. Drei liegen auf der Verbindungslinie der beiden Körper, der vierte und fünfte bilden mit den beiden Körpern jeweils die Eckpunkte eines (bis auf relativistische Korrekturen) gleichseitigen [[Dreieck]]s. Für das in obigen Grafiken blau-gelbe Paar von Himmelskörpern wird im Folgenden [[Sonne]] und [[Erde]] als Beispiel verwendet.

=== Lagrange-Punkt L<sub>1</sub> ===
Der innere Lagrange-Punkt L<sub>'''1'''</sub> befindet sich zwischen den beiden betrachteten Körpern auf ihrer Verbindungslinie. Ein Körper, der die Sonne innerhalb der Erdbahn umkreist, hätte normalerweise eine höhere Bahngeschwindigkeit als die Erde. Durch die Anziehungskraft der Erde wird jedoch die Anziehungskraft der Sonne auf den Körper geschwächt (die beiden Kräfte wirken entgegengesetzt), wodurch in L<sub>'''1'''</sub> die synchrone Umlaufgeschwindigkeit für das Kräftegleichgewicht ausreicht. Dieser Punkt befindet sich knapp 1,5&nbsp;Mio.&nbsp;km von der Erde entfernt in Richtung Sonne.

[[Datei:ACE_at_L1.png|mini|hochkant=1.7|Raumsonde [[Advanced Composition Explorer|ACE]] in einer Bahn um L<sub>'''1'''</sub>]]

;Beispiele:
* Der innere Lagrange-Punkt L<sub>'''1'''</sub> im System Sonne-Erde dient als „Basis“ zur Sonnenbeobachtung. Schon 1978 brach dorthin die Sonde [[ISEE-3/ICE|ISEE-3]] auf, um ihn bis 1982 zu umkreisen. Sie war die erste Sonde, die einen Lagrangepunkt umkreiste. Seit 1995 umkreist ihn die Sonnenbeobachtungssonde [[Solar and Heliospheric Observatory|SOHO]] mit einem Bündel von zwölf [[Messinstrument]]en. Aus der Sicht des mit der Erdbewegung mitbewegten Bezugssystems umkreist SOHO den Lagrange-Punkt einmal innerhalb von sechs Monaten im Abstand von rund 600.000&nbsp;km, um bei der Kommunikation nicht von der Sonne gestört zu werden und den Aufwand für Bahnkorrekturen nicht zu groß werden zu lassen. Der [[Advanced Composition Explorer]] (ACE) zur Erforschung von Partikeln aus allen möglichen Quellen im [[Universum]] (u.&nbsp;a. der [[Sonne]]) umkreist den L<sub>'''1'''</sub> seit Anfang 1998. Auch die Raumsonde [[Genesis (Sonde)|Genesis]] mit Instrumenten zur Erforschung des [[Sonnenwind]]s und zum Einfang seiner [[Teilchen|Partikel]] war dort von 2001 bis 2004 positioniert. 2015 wurden das [[Deep Space Climate Observatory]] und [[LISA Pathfinder]] Richtung L<sub>'''1'''</sub> gestartet.
* Der innere Lagrange-Punkt L<sub>'''1'''</sub> von Erde und [[Mond]] ist im Mittel ungefähr 58.000&nbsp;km vom Massemittelpunkt des Mondes in der Richtung zur Erde hin entfernt.<ref name="IAC-04-IAA.3.8.3.07">Jerome Pearson, Eugene Levin, John Oldson, Harry Wykes: [http://www.star-tech-inc.com/papers/lse_iaf/LSE_IAF_04_Paper_Final.pdf ''The Lunar Space Elevator.''] (PDF; 365&nbsp;kB), STAR Inc., Mount Pleasant, SC USA, 55th International Astronautical Congress, Vancouver, Canada, 4-8&nbsp;October 2004.</ref><ref name="NaN">[http://web.archive.bibalex.org/web/20051109070350/http://www.merlyn.demon.co.uk/gravity4.htm ''Notation and Numbers.''] Gravity&nbsp;4: The Lagrange Points.</ref> Die [[THEMIS#Erweiterte_Mission|ARTEMIS-Missionen]] der [[NASA]] führten unter anderem zum Lagrange-Punkt L<sub>'''1'''</sub> von Erde und Mond.<ref name="Artemis">Mark A. Woodard, David C. Folta, Dennis W. Woodfork: [http://www.igpp.ucla.edu/public/THEMIS/SCI/Pubs/artemis/artemis_woodward.pdf ''ARTEMIS: The First Mission to the Lunar Libration Orbits.''] International Symposium on Space Flight Dynamics, Januar [http://issfd.org/ISSFD_2009/SUMMARY.PDF 2009.]</ref>

=== Lagrange-Punkt L<sub>2</sub> ===
[[Datei:L2 rendering de.jpg|mini|hochkant=1.7|Position von L<sub>'''2'''</sub>]]

Der äußere Lagrange-Punkt L<sub>'''2'''</sub> befindet sich hinter dem kleineren der beiden großen Körper auf ihrer Verbindungslinie. Ursache ist ein ähnlicher Effekt wie im Fall des L<sub>'''1'''</sub>. Normalerweise wäre außerhalb der Erdbahn die Umlaufdauer länger als die der Erde. Die zusätzliche Anziehung der Erde (Kräfte von Sonne und Erde auf den Körper sind gleichgerichtet) bewirkt jedoch eine kürzere Umlaufdauer, die im L<sub>'''2'''</sub> wiederum gleich der Umlaufdauer der Erde ist. Dieser Punkt befindet sich in einer Entfernung von 1,5&nbsp;Mio.&nbsp;km außerhalb der Erdbahn.

;<nowiki>Beispiele:</nowiki>
* Der L<sub>'''2'''</sub>-Punkt des Systems Sonne-Erde bietet Vorteile für [[Weltraumteleskop]]e. Da ein Körper im L<sub>'''2'''</sub> die Orientierung in Bezug auf Sonne und Erde beibehält, ist dort die Abschirmung vor Sonnenstrahlung wesentlich einfacher als auf einer Erdumlaufbahn. Die [[Wilkinson Microwave Anisotropy Probe|WMAP-Raumsonde]] (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), die die [[Kosmischer Mikrowellenhintergrund|kosmische Hintergrundstrahlung]] des [[Urknall]]s untersuchte, befand sich in einer Umlaufbahn um den L<sub>'''2'''</sub>-Punkt des Systems Sonne-Erde. Die [[ESA]] stationierte im September 2009 dort das Infrarot-Teleskop [[Herschel-Weltraumteleskop|Herschel]] und das Teleskop [[Planck-Weltraumteleskop|Planck]] zur Untersuchung der Hintergrundstrahlung.<ref>{{internetquelle|autor=ESA News|url=http://www.esa.int/esaCP/SEMK2AZVNUF_index_0.html|titel=ESA en route to the origins of the Universe |zugriff=2009-05-15}}</ref> Seit Januar 2014 umkreist die [[Astrometrie]]-Raumsonde [[Gaia (Raumsonde)|Gaia]] der ESA den L<sub>'''2'''</sub>.<ref name="gaiaentersorbit">{{internetquelle |hrsg=ESA News|url=http://sci.esa.int/gaia/53578-gaia-enters-its-operational-orbit/ |sprache=englisch |titel=Gaia enters its operational orbit |datum=2014-01-08 |zugriff=2014-01-08}}</ref> Auch das [[James Webb Space Telescope]] ist für L<sub>'''2'''</sub> vorgesehen.
* Der äußere Lagrange-Punkt L<sub>'''2'''</sub> von Erde und Mond ist im Mittel ungefähr 64.500&nbsp;km vom Massemittelpunkt des Mondes in Richtung von der Erde weg entfernt.<ref name="IAC-04-IAA.3.8.3.07" /><ref name="NaN" /> Die [[THEMIS#Erweiterte_Mission|ARTEMIS-Missionen]] der [[NASA]] führten unter anderem zum Lagrange-Punkt L<sub>'''2'''</sub> von Erde und Mond.<ref name="Artemis" />

=== {{Anker|L3}}Lagrange-Punkt L<sub>3</sub> ===
Der Lagrange-Punkt L<sub>'''3'''</sub> befindet sich (von dem kleineren Körper aus gesehen) hinter dem größeren Körper auf ihrer Verbindungslinie etwas außerhalb der Umlaufbahn des kleineren der beiden Körper. Im Fall Sonne-Erde liegt der dritte Lagrange-Punkt auf der uns gegenüberliegenden Seite der Sonne, knapp 190&nbsp;km weiter weg von der Sonne als die Erde. In diesem Punkt bewirken die (gleichgerichteten) kombinierten Anziehungskräfte von Erde und Sonne wieder eine Umlaufdauer, die gleich der der Erde ist.

;Beispiel:
* Der L<sub>'''3'''</sub>-Punkt war in [[Science-Fiction]]-Büchern und [[Comic]]s ein beliebter Platz für eine hypothetische (für uns aufgrund der Sonne nicht sichtbare) „[[Gegenerde]]“. Da die Masse einer erdähnlichen „Gegenerde“ in dem System jedoch nicht mehr zu vernachlässigen wäre, handelte es sich hier um ein etwas anders gelagertes Dreikörperproblem und L<sub>'''3'''</sub> läge aus Symmetriegründen exakt auf der Umlaufbahn der Erde. Prinzipiell wäre auch die Definition der „verschwindend kleinen Masse“ nicht erfüllt.

=== Lagrange-Punkte L<sub>4</sub> und L<sub>5</sub> ===
Diese beiden Lagrange-Punkte befinden sich jeweils am dritten Punkt eines gleichseitigen Dreiecks, dessen Grundlinie die Verbindungslinie der beiden großen Körper ist. L<sub>'''4'''</sub> befindet sich in Umlaufrichtung des kleineren der beiden großen Körper vor ihm, L<sub>'''5'''</sub> hinter ihm.

Haben die beiden großen Körper sehr verschiedene Massen, so liegen L<sub>'''4'''</sub> und L<sub>'''5'''</sub> annähernd auf der Umlaufbahn des mittelgroßen Körpers, 60° davor bzw. dahinter.

Im Gegensatz zu L<sub>'''1'''</sub>, L<sub>'''2'''</sub> und L<sub>'''3'''</sub> sind L<sub>'''4'''</sub> und L<sub>'''5'''</sub> stabil, d.&nbsp;h. in ihrer Nähe können sich Körper auch ohne Bahnkorrektur dauerhaft aufhalten. Daher können an diesen Punkten natürliche Objekte erwartet werden. Ist der Punkt L<sub>'''4'''</sub> bzw. L<sub>'''5'''</sub> nicht genau getroffen, so beschreibt das entsprechende Objekt eine Umlaufbahn um den Lagrangepunkt. Tatsächlich befinden sich in der Nähe von L<sub>'''4'''</sub> und L<sub>'''5'''</sub> eine Vielzahl von Staubwolken und Kleinkörpern, insbesondere auf den Umlaufbahnen der großen Planeten. [[Asteroid]]en oder Monde, die sich im näheren Umkreis dieser Punkte befinden, werden von [[Astronom]]en auch [[Trojaner (Astronomie)|Trojaner]] oder [[Trojanermond]]e genannt. In einer Umlaufbahn um L<sub>'''4'''</sub> der Erde befindet sich der 2010 entdeckte [[2010 TK7|2010&nbsp;TK<sub>'''7'''</sub>]].

;Beispiele:
{{Siehe auch|Liste der Asteroiden – Trojaner.}}
* '''Jupitertrojaner:''' In der Umgebung der Punkte L<sub>'''4'''</sub> und L<sub>'''5'''</sub> des [[Jupiter (Planet)|Jupiter]] halten sich die (erstmals bei Jupiter so genannten) Trojaner auf, eine Gruppe von Asteroiden. Sie haben dieselbe Umlaufperiode wie Jupiter, eilen ihm aber im Mittel 60° vor bzw. nach und umkreisen dabei die Punkte L<sub>'''4'''</sub> und L<sub>'''5'''</sub> periodisch in weiten Bögen. Bislang sind in L<sub>'''4'''</sub> und L<sub>'''5'''</sub> über 3600 beziehungsweise 2000 Trojaner bekannt und in den Asteroidenlisten<ref>''[http://www.minorplanetcenter.net/iau/lists/JupiterTrojans.html List Of Jupiter Trojans.]'' Bei: ''minorplanetcenter.net.''</ref> des [[Minor Planet Center]] erfasst, die Gesamtzahl wird auf einige Zehntausend geschätzt. Der erste Trojaner, [[(588) Achilles]], wurde 1906 von [[Max Wolf]] entdeckt. Der weitaus größte Trojaner dürfte der 1907 entdeckte [[(624) Hektor]] sein, ein unregelmäßig geformter Asteroid von 416 km × 131 km × 120 km Ausdehnung.

* '''Trojaner anderer Planeten:''' 1990 wurde auch im Librationspunkt L<sub>'''5'''</sub> des [[Mars (Planet)|Mars]] ein [[Mars-Trojaner]] entdeckt, der [[(5261) Eureka]] getauft wurde. Mittlerweile hat man vier weitere Mars-Trojaner entdeckt, davon einen im L<sub>'''4'''</sub>-Punkt. Ende 2001 fand man auch 60° vor [[Neptun (Planet)|Neptun]] einen Trojaner. Mit dem 4-m-[[Spiegelteleskop]] am [[Cerro Tololo Inter-American Observatory|Cerro Tololo]] aufgenommen, erhielt der 230-km-Körper den [[Benennung von Asteroiden und Kometen|provisorischen Namen]] [[2001 QR322|2001&nbsp;QR<sub>'''322'''</sub>]], war aber erst nach einem Jahr „gesichert“. Er umrundet die Sonne&nbsp;– genau wie Neptun&nbsp;– in 166 Erdjahren. 2010 wurde dann auch erstmals ein Neptuntrojaner im Lagrangepunkt L<sub>'''5'''</sub>, 60° hinter Neptun, nachgewiesen, [[2008 LC18|2008&nbsp;LC<sub>'''18'''</sub>]]. Weiterhin wurde mit 2011&nbsp;QF99 auch ein Uranustrojaner in L<sub>'''4'''</sub> gefunden.

* '''Erdbegleiter:''' Für die Erde wurde von Astronomen der [[Athabasca University]] in Kanada im Jahr 2010 der bis jetzt einzig bekannte Trojaner entdeckt, der Asteroid [[2010 TK7|2010&nbsp;TK<sub>'''7'''</sub>]]. Die Entdeckung wurde im Juli 2011 veröffentlicht.<ref>[http://www.spiegel.de/wissenschaft/weltall/0,1518,776974,00.html ''Trojaner-Asteroid: Astronomen finden weiteren Erdbegleiter.''] Bei: ''spiegel.de.''</ref><ref>[http://www.nature.com/nature/journal/v475/n7357/abs/nature10233.html ''Earth’s Trojan asteroid.''] In: [[Nature]] 475, 481–483, {{doi|10.1038/nature10233}}.</ref> Er bewegt sich um den Lagrange-Punkt L<sub>'''4'''</sub>.<br />In den 1950ern wurden Staubwolken in den L<sub>'''4'''</sub>- und L<sub>'''5'''</sub>-Punkten des Systems Sonne-Erde gefunden. In den L<sub>'''4'''</sub>- und L<sub>'''5'''</sub>-Punkten des [[Erde-Mond-System]]s wurden ebenfalls sehr schwache Staubwolken gefunden, die [[Kordylewskische Wolken|Kordylewskischen Wolken]], die noch schwächer als der lichtschwache [[Zodiakallicht|Gegenschein]] ausgeprägt sind. Jedoch gibt es einige Asteroiden, die sich auf einer sogenannten [[Hufeisenumlaufbahn]] zusammen mit der Erde (also einer mittleren Umlaufdauer von einem Jahr) um die Sonne bewegen. Der Übergang von einem Trojaner zu einer Hufeisenbahn ist fließend: Wenn der Abstand eines Trojaners zum L<sub>'''4'''</sub>- oder L<sub>'''5'''</sub>-Punkt zu groß ist, dann wird er einmal auf der Erdbahn den der Erde entgegengesetzten Punkt überschreiten und dann in Richtung des anderen Lagrange-Punktes wandern. Insbesondere die Bahn des am 9.&nbsp;Januar 2002 mit Hilfe der automatischen Himmelsüberwachung ''LINEAR'' ([[Lincoln Near Earth Asteroid Research]]) entdeckten Asteroiden [[2002 AA29|2002&nbsp;AA<sub>29</sub>]] (ein Objekt mit nicht einmal 100&nbsp;m Durchmesser) ist bemerkenswert. Er umkreist die Sonne auf einer der Erdbahn sehr ähnlichen Umlaufbahn, wobei er vom mit der Erdbewegung mitbewegten Bezugssystem aus gesehen entlang der Erdbahn im Lauf von 95&nbsp;Jahren einen Bogen von fast 360° beschreibt, den er in weiteren 95&nbsp;Jahren wieder zurückschwingt. Die Form des Bogens erinnert an ein [[Hufeisen]], daher der Name Hufeisenbahn. Die stabilste derzeit bekannte Hufeisenbahn eines Erdbegleiters besitzt [[(419624) 2010 SO16|(419624) 2010 SO<sub>'''16'''</sub>]].

* '''Koorbitale Monde ([[Trojanermond]]e):''' Weitere Trojaner gibt es im [[Satellit (Astronomie)|Mondsystem]] des [[Saturn (Planet)|Saturns]]. So hat der Saturnmond [[Tethys (Mond)|Tethys]] die kleinen Monde [[Telesto (Mond)|Telesto]] in seinem L<sub>'''4'''</sub>- und [[Calypso (Mond)|Calypso]] in seinem L<sub>'''5'''</sub>-Punkt; der Saturnmond [[Dione (Mond)|Dione]] hat die Monde [[Helene (Mond)|Helene]] und [[Polydeuces (Mond)|Polydeuces]] in seinem L<sub>'''4'''</sub>- bzw. L<sub>'''5'''</sub>-Punkt.

== Vereinfachtes Modell von Lagrange ==
=== Modell für Lagrange-Punkte L<sub>1</sub> bis L<sub>3</sub> ===
Die Positionen lassen sich analytisch herleiten, wenn man die drei Massen auf einer rotierenden Linie anordnet und für jede der drei Massen fordert, dass die gravitative Anziehung der beiden anderen Massen sie auf einer Kreisbahn hält. Dies führt jedoch zu [[Gleichung fünften Grades|Gleichungen fünften Grades]].

Näherungslösungen dieser Gleichungen sind (Fehler beim System Sonne-Erde etwa 0,33 %, bei Erde/Mond bis zu 6 %):
:<math>\textstyle l_1 = r \left(1 - \sqrt[3\,]{\frac{\mu}{3}} \right)</math>
:<math>\textstyle l_2 = r \left(1 + \sqrt[3\,]{\frac{\mu}{3}} \right)</math>
:<math>\textstyle l_3 = -r \left(1 + \frac{5\mu}{12} \right)</math>
mit dem Abstand <math>r</math> zwischen den beiden Körpern mit den Massen <math>m</math> und <math>M</math> sowie <math>\textstyle \mu= \frac{m}{m+M}</math>.<br> <math>l_1</math>, <math>l_2</math> und <math>l_3</math> sind die (vorzeichenbehafteten) Abstände der jeweiligen Lagrangepunkte vom schwereren Körper der Masse <math>M</math>.

=== Modell für Lagrange-Punkte L<sub>4</sub> und L<sub>5</sub> ===
Wenn man drei Körper mit gleicher Masse umeinander auf einer gemeinsamen Kreisbahn rotieren lässt, liegen der [[Massenmittelpunkt]] und das [[Gravizentrum]] der Anordnung im Mittelpunkt der Kreisbahn. Bei einer bestimmten, vom Abstand der Massen abhängigen Winkelgeschwindigkeit ist jeder der drei Körper kräftefrei und das System befindet sich im Gleichgewicht. Die direkte Gravitationswirkung der drei Körper aufeinander ist dann ausgeglichen, wenn auf der Kreisbahn die drei Körper den gleichen Abstand zueinander einnehmen. Das kann aber nur in einem gleichseitigen [[Dreieck]] der Fall sein. Dort ist der Winkel der einzelnen Seiten zueinander gleich und beträgt 60°.

Verändert man nun die Massen, dann wird der gemeinsame Schwerpunkt, um den das System rotiert, zu der schwersten Masse hin verschoben. Die Eigenschaft, dass das Dreieck gleichseitig ist und folglich die Winkel der Massen zueinander 60° sind, wird dadurch aber nicht beeinflusst.

Durch die Verzerrung der Raumzeit durch die Gravitationswirkung gemäß der [[Gravitation#Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] wird der Raum verzerrt und die Lage der Librationspunkte gestört (nichteuklidische Geometrie mit einer von 180° verschiedenen Winkelsumme in Dreiecken).

=== Herleitung der Librationspunkte durch Lagrange ===
Bei vergleichbar großen Massen bewegen sich drei Körper in einem Rotationssystem im Allgemeinen [[Nichtlineares System|chaotisch]] umeinander. Anders sieht es aus, wenn entweder die Masse der drei Körper gleich groß oder einer der drei Körper sehr klein gegenüber den beiden anderen ist. Lagrange betrachtete den letzteren Fall. Der erstere ist hingegen gut verwendbar zum Einstieg in das Verständnis des Effekts, der zum Gleichgewicht im letzteren Fall führt:

Lagrange ging in seiner Herleitung davon aus, dass einer der Körper eine verschwindend geringe Masse haben soll, sodass der Masseschwerpunkt nur noch von den beiden schwereren Körpern bestimmt wird und zwischen diesen liegt; außerdem davon, dass die beiden schwereren deutlich unterschiedliche Masse haben, also im Wesentlichen der mittelschwere (Planet) um den schwersten (Sonne) kreist. Außerdem davon, dass auch dann, wenn einer der beiden massereichen Körper der deutlich schwerste (Sonne) ist, dieser Masseschwerpunkt deutlich aus dessen Mittelpunkt herausgeschoben ist. Das bedeutet unter anderem, dass der massereichste Körper (Sonne) aufgrund der Wechselwirkung mit dem zweitschwersten Körper (Planet) deutlich um den gemeinsamen Masseschwerpunkt herum „geschleudert“ werden muss. Genau dann und proportional zu dieser Verschiebung des Masseschwerpunkts passiert es, dass die beiden massereichen Körper am Schwerpunkt vorbei aus entgegengesetzten Richtungen auf den kleinsten Körper im betrachteten System einwirken können&nbsp;– ähnlich dem eingangs betrachteten Rotationssystem mit den drei gleich großen Massen, nur dass der Winkel, unter dem die „Sonne“ auf den betrachteten Kleinkörper am Masseschwerpunkt vorbeiwirkt, extrem klein (aber trotzdem ungleich ''0'') ist.

Nun zeigt sich, dass im Fall relativ großer Massenverhältnisse erstens wieder eine stabile Bahn der drei Körper zustande kommt und zweitens das Gebilde unabhängig vom konkreten Massenverhältnis immer jenes gleichseitige Dreieck bleibt (nur dass es um einen Schwerpunkt nahe bei der Sonne anstatt genau in der Mitte der drei Körper kreist).

Das Modell ist nicht ohne Weiteres auf Mehrplanetensysteme wie unser Sonnensystem anwendbar. Die Auslenkung der Sonne um ihren Mittelpunkt wird bei uns im Wesentlichen von [[Jupiter (Planet)|Jupiter]] bestimmt. Dieser Planet ist es dann auch, der als einziger etliche Masseteilchen um seine Lagrange-Punkte L<sub>'''4'''</sub> und L<sub>'''5'''</sub> herum angesammelt hat. Alle anderen Planeten lenken die Sonne im Verhältnis dazu nur zu Bruchteilen ab, sodass die Bewegung der Sonne aus deren Sicht von einer chaotischen Funktion hoher Amplitude in Bezug auf das Lagrange-Modell überlagert ist. Durch statistische Effekte (unterschiedliche Umlauffrequenzen) und lineare Überlagerung können die Lagrange-Punkte allerdings auch bei den kleineren Planeten wirken.

== Stabilität der Lagrange-Punkte ==
[[Datei:Lagrange points2.svg|mini|hochkant=1.7|Qualitativer Konturplot des [[Effektives Potential|effektiven Potentials]] V<sub>eff</sub>(x<sub>3</sub>,&nbsp;y<sub>3</sub>) für Testmasse&nbsp;3 in einem System aus einem Planeten (Erde) und seinem Zentralgestirn (Sonne), in der gemeinsamen Ebene durch die Himmelskörper.]]

Die ersten drei Lagrangepunkte sind nur bezüglich Abweichungen senkrecht zu der Verbindungslinie zwischen den beiden großen Körpern stabil, während sie bezüglich Abweichungen in Richtung dieser Verbindungslinie instabil sind. Am einfachsten kann man das anhand des L<sub>'''1'''</sub>-Punktes sehen. Auf eine Testmasse, die von L<sub>'''1'''</sub> aus entlang eines der roten Pfeile ''senkrecht'' von der Verbindungslinie entfernt wird, wirkt eine Kraft zurück in den Gleichgewichtspunkt (in y-Richtung: anziehende Effektivkraft). Grund dafür ist, dass die ''waagerechten'' Kraftkomponenten der beiden großen Körper sich gegenseitig aufheben, während sich ihre ''senkrechten'' Kraftkomponenten addieren. Wird hingegen ein Objekt von L<sub>'''1'''</sub>-Punkt aus etwas näher an einen der beiden anderen Körper bewegt (die blauen Pfeile!), so ist die Gravitationskraft des Körpers, dem er näher gekommen ist, größer: Er entfernt sich also vom Gleichgewichtspunkt (in x-Richtung: abstoßende Effektivkraft).

Die Punkte L<sub>'''1'''</sub> und L<sub>'''2'''</sub> sind also zwar ''instabil,'' aber dennoch von Nutzen, da geringe Korrekturmanöver einer Raumsonde ausreichen, um sie dort zu halten. Ohne diese würde sie sich von diesen Punkten entfernen.

Im Gegensatz dazu sind um L<sub>'''4'''</sub> und um L<sub>'''5'''</sub> ''stabile'' Bahnen möglich, sofern das Massenverhältnis der beiden großen Körper größer als 24,96 ist. Wird ein an diesen Punkten befindlicher kleiner Körper leicht ausgelenkt, so bringt ihn die [[Corioliskraft]] aus der Sicht des Bezugssystems, in dem die Lagrangepunkte ruhen, in eine nierenförmige Umlaufbahn um diesen Punkt. Er bleibt also jetzt auch ohne Korrekturmanöver in der Nähe dieser Punkte.

== Siehe auch ==
* [[Koorbitales Objekt]]
* [[Keplersche Gesetze]]
* [[Bahnbestimmung]]
* [[Bahnresonanz]]
* [[Halo-Orbit]]
* [[Hill-Sphäre]]
* [[Lissajous-Orbit]]
* [[Roche-Grenze]]

== Literatur ==
* Martin Hechler: ''[http://www.astronomie-heute.de/artikel/913160&_z=798889 Die Bahnen der Weltraumteleskope Herschel und Planck.]'' In: ''Sterne und Weltraum.'' Heidelberg 47.2008, Nr. 1 (Jan.), S.&nbsp;48–55. {{ISSN|0039-1263}}
* Claudio Maccone: [{{Toter Link |inline=1 |url=http://www.seti-italia.cnr.it/Page%20Articles/ARTICOLO_MACCONE.pdf}} ''Planetary defense from the nearest 4 lagrangian points plus rfi-free radioastronomy from the farside of the moon. A unified vision.''] Acta Astronautica, Volume&nbsp;50, Issue&nbsp;3, Februar 2002, S.&nbsp;185–199. {{DOI|10.1016/S0094-5765(01)00176-X}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Librationspunkt}}
{{Commonscat|Lagrange points|Lagrange-Punkte}}
* {{Alpha Centauri|145}}
* Michael Khan: [http://www.scilogs.de/go-for-launch/lagrange1/ ''Lagrange-Punkte? Wie bitte?''] Bei: ''scilogs.de.''
* Stefan Deiters: [http://www.astronews.com/news/artikel/2002/07/0207-015.shtml ''Genesis: Eine Schnellstraße durch das Sonnensystem.''] Bei: ''astronews.com.''
* Neil J. Cornish: [http://wmap.gsfc.nasa.gov/media/ContentMedia/lagrange.pdf ''The Lagrange Points.''] Bei: ''nasa.gov.'' Artikel zum Thema mit einfachen Formeln und Diagrammen (englisch; PDF; 171&nbsp;kB).
* {{Internetquelle |url=http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.html |titel=The Lagrange Points |hrsg=[[Montana State University]] |autor=Neil J. Cornish |datum=1999-05-21 |archiv-datum=2015-05-08 |zugriff=2017-11-06 |archiv-url=http://web.archive.org/web/20150508033548/http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.html}} Artikel zu Lagrangepunkten mit weiterführenden Links (englisch).
* [http://www.princeton.edu/~rvdb/JAVA/astro/galaxy/Galaxy0.html ''Gravity Simulations.''] Bei: ''princeton.edu.'' Programm zur Simulation von Mehrkörpersystemen ([[Java-Applet]]).

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Lesenswert|24. Dezember 2008|54495551}}

[[Kategorie:Himmelsmechanik]]
[[Kategorie:Joseph-Louis Lagrange als Namensgeber]]