Quelltext der Seite Korrelationslänge

Die '''Korrelationslänge''' <math>\xi</math> ist ein Begriff aus der [[Statistische Mechanik|statistischen Mechanik]]. Er bezeichnet denjenigen Abstand zweier [[Teilchen]], innerhalb dessen ihre [[Dynamik (Physik)|Dynamik]] miteinander [[Korrelation|korreliert]] ist, also Gemeinsamkeiten in ihren zufälligen Schwankungen auftreten. Diese Gemeinsamkeiten äußern sich bei Korrelationen von messbaren Größen wie der [[Dichte]] oder der [[Magnetisierung]]. Diese Korrelationen kommen durch Interaktionen zwischen den Teilchen zustande, daher ist die Korrelationslänge auch ein Maß für die Reichweite dieser Interaktionen. Bei [[Kontinuumsmechanik|kontinuierlichen]] oder [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] Systemen, bei denen keine diskreten Teilchen betrachtet werden, bezieht sich die Korrelationslänge einzig auf die gemessenen Größen an verschiedenen Orten.

== Mathematische Beschreibung ==
Mathematisch definiert man die Korrelationslänge über eine [[Autokorrelation|Korrelationsfunktion]] <math>G(r)</math> in Abhängigkeit vom Abstand <math>r</math>. Betrachten wir eine Größe <math>a</math>, z.&nbsp;B. die Ausrichtung eines [[Spin]]s, gilt

::<math>G(r) = \langle \mathbf{a}(R) \cdot \mathbf{a}(R+r)\rangle\ - \langle \mathbf{a}(R) \rangle \cdot \langle \mathbf{a}(R+r) \rangle \, ,</math>

wobei die spitzen Klammern für die [[Mittelung]] über alle Orte <math>R</math> stehen.

Oberhalb der Korrelationslänge ist

:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">r > \xi \Rightarrow G(r) \approx 0 \, ,</math>

es ist also praktisch keine Korrelation mehr vorhanden.

In vielen Fällen fällt die Korrelationsfunktion [[Exponentialfunktion|exponentiell]] mit dem Abstand ab:

:<math>G (r) \propto \exp{\left( - \frac{|r|}{\xi} \right)}</math>

Ein anderes Modell für die Korrelationsfunktion ist die Gauß-Korrelation, bei der die Korrelation <math>G</math> in Abhängigkeit des Abstandes <math>r</math> in Form einer Gauß-Kurve abfällt: <ref>Iason Papaioannou. Stochastic finite element methods. Engineering Risk Analysis Group, Technische Universität München, 2017.</ref>  

:<math> G (r) = \exp{\left(-\left(\frac{r}{\xi}\right)^2\right)} </math>

Die einfachste Form der Korrelation ist die Dreieckskorrelation. Hierbei fällt die Korrelation <math>G</math> bis zur Korrelationslänge <math>\xi</math> linear von <math>1</math> auf <math>0</math> ab: <ref>Iason Papaioannou. Stochastic finite element methods. Engineering Risk Analysis Group, Technische Universität München, 2017.</ref>

:<math> G(r)=\left\{\begin{array}{ll} 1-\frac{|r|}{\xi} & |r|\leq\xi \\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right. </math>

== Bei Flüssigkeiten ==
In [[Flüssigkeit]]en ist die Korrelationslänge normalerweise sehr klein (etwa&nbsp;0,1 bis 1&nbsp;nm). In der Nähe von [[Phasenübergang|Phasenübergängen]] (z.&nbsp;B. zwischen der flüssigen und der gasförmigen [[Phase (Materie)|Phase]]) wächst sie aber stark an, so dass die Korrelationen hier [[Mikroskopisch und makroskopisch|makroskopische]] Größenordnungen erreichen.

== An kritischen Punkten ==
Das Verhalten der Korrelationslänge in der Nähe eines [[Kritischer Punkt (Thermodynamik)|kritischen Punktes]], z.&nbsp;B. einer kritischen Temperatur <math>T_c</math>, kann durch ein [[Potenzgesetz (Statistik)|Potenzgesetz]] ausgedrückt werden:

:<math>\xi \propto |T - T_c|^{-\nu} \, ,</math>

wobei <math>\nu</math> ein [[kritischer Exponent]] ist, der für viele Systeme identisch und daher eine [[Universalität (Physik)|universelle]] Eigenschaft ist.

Nähert sich <math>T</math> immer mehr an <math>T_c</math> an (egal ob von oben oder von unten), so geht <math>\xi</math> gegen [[Unendlich]] und <math>G(r)</math> gegen&nbsp;1:

:<math>T \to T_c \quad \Rightarrow \xi \to \infty \quad \Rightarrow G(r) \to 1 \, ,</math>

Daher ist sehr nahe dem kritischen Punkt die Korrelation über das gesamte System hinweg messbar. Das führt zu [[kritisches Phänomen|kritischen Phänomenen]] wie etwa der [[Kritische Opaleszenz|kritischen Opaleszenz]], einer milchigen Eintrübung eines Stoffes am Übergang zwischen flüssigem und gasförmigen Zustand.

== Literatur ==
* Klaus Stierstadt, Wilhelm T. Hering, Thomas Dorfmüller: ''Mechanik, Relativität, Wärme'' (= ''[[Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik|Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik]]''. Band 1). Walther de Gruyter, Berlin/New York 1998.
* Klaus Stierstadt: ''Thermodynamik - Von Der Mikrophysik Zur Makrophysik''. Springer, Berlin, 2010.
* {{cite journal |authorlink=Michael E. Fisher |first=M. E. |last=Fisher |title=Renormalization Group in Theory of Critical Behavior |journal=Reviews of Modern Physics |volume=46 |issue=4 |pages=597–616 |year=1974 |doi=10.1103/RevModPhys.46.597 |bibcode = 1974RvMP...46..597F}}
* A. R. Its, V. E. Korepin, A. G. Izergin, N. A. Slavnov: ''Temperature Correlation of Quantum Spins.'' In:''arXiv - Quantum Physics (quant-ph).'' 2009, {{ArXiv|0909.4751}}.
* {{cite book |first=J. M. |last=Yeomans |title=Statistical Mechanics of Phase Transitions |location= |publisher=Oxford Science Publications |year=1992 |isbn=0-19-851730-0}}

== Weblinks ==
* [http://people.physik.hu-berlin.de/~sokolov/stat/master/node57.html Die Korrelationslänge in Spinsystemen] Statistische Physik, Sommersemester 2004, Prof. Dr. Igor M. Sokolov, Humboldt-Universität Berlin
* [http://fsmpi.uni-bayreuth.de/thermo/schwk.html Schwankungen makroskopischer Größen] Online-Skript Thermodynamik und Statistische Physik aus dem Sommersemester 1996, Prof. H. Brand, Universität Bayreuth.

== Einzelnachweise ==
<references />

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[[Kategorie:Statistische Physik]]