Quelltext der Seite Innere Energie

Die '''innere Energie''' <math>U</math>  ist  die gesamte für thermodynamische Umwandlungsprozesse zur Verfügung stehende [[Energie]] eines [[Physikalisches System|physikalischen Systems]], das sich in Ruhe und im [[Thermodynamisches Gleichgewicht|thermodynamischen Gleichgewicht]] befindet. Die innere Energie setzt sich aus einer Vielzahl anderer Energieformen zusammen ([[#Definition und Beiträge|s. u.]]), sie ist nach dem [[Erster Hauptsatz der Thermodynamik|ersten Hauptsatz der Thermodynamik]] in einem [[Abgeschlossenes System|abgeschlossenen System]] konstant.<ref>{{Gold Book|internal energy|I03103}}</ref>

Die innere Energie ändert sich, wenn das System mit seiner Umgebung [[Wärme]] oder [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] austauscht. Die Änderung <math>\Delta U</math> der inneren Energie ist dann gleich der Summe aus der dem System zugeführten Wärme <math>Q</math> und der  Arbeit <math>W</math>, die am System geleistet wird, dieses aber als Ganzes im Ruhezustand belässt:
:<math>\Delta U = Q + W</math>

Die innere Energie ist eine [[extensive Zustandsgröße]] und ein [[thermodynamisches Potential]] des Systems. Aus der [[Kalorische Zustandsgleichung|kalorischen Zustandsgleichung]] des Systems ergibt sich, wie die innere Energie aus anderen Zustandsgrößen (z.&nbsp;B. [[Druck (Physik)|Druck]], [[Temperatur]], Teilchenzahl, [[Entropie]], Volumen) zu berechnen ist.

== Beiträge zur inneren Energie ==
Welche Energieformen bei der Betrachtung der inneren Energie berücksichtigt werden, hängt von der Art der Prozesse ab, die innerhalb des betrachteten Systems ablaufen. Energieformen, die konstant bleiben, müssen nicht berücksichtigt werden, da ohnehin kein absoluter Wert für die innere Energie bestimmt werden kann.

*Im einfachsten Fall besteht das betrachtete System lediglich aus einer festen Zahl unveränderlicher [[Massenpunkt]]e ohne [[potentielle Energie]], entsprechend einem verdünnten [[Edelgas]]. Dann ist seine innere Energie durch die gesamte [[kinetische Energie]] der ungeordneten Bewegung der Teilchen gegeben.
*Bei mehratomigen idealen Gasen kommen die kinetische [[Rotation (Physik)|Rotationsenergie]] der [[Molekül]]e (siehe [[Molekülrotation]]) und die kinetische und potentielle Energie ihrer inneren [[Molekülschwingung|Schwingungen]] hinzu.
*Bei [[Reales Gas|nichtidealen Gasen]], [[Flüssigkeit]]en und [[Festkörper|festen Stoffen]] zählt weiter die gegenseitige potenzielle Energie der Teilchen zur inneren Energie. In Gegenwart äußerer Felder (etwa [[Elektrisches Feld]], [[Magnetfeld]], [[Schwerefeld]]) wird oft auch diejenige potentielle Energie mit einbezogen, die die Teilchen bezogen auf einen relativ zum System fest definierten Punkt haben.
*Sind [[chemische Reaktion]]en möglich, wird die innere Energie um die Energie der [[Bindungsenergie|chemischen Bindungen]] der beteiligten Atomarten erweitert. Zur inneren Energie von Materie im [[Plasma (Physik)|Plasmazustand]] zählen auch die [[Ionisationsenergie]]n der Moleküle und Atome.
*Bei Berücksichtigung von Kernreaktionen wie [[Radioaktivität]], [[Kernfusion]] oder [[Kernspaltung]], gehört die [[Kernbindungsenergie]] zur inneren Energie. Kommen auch [[Paarerzeugung|Teilchenerzeugung]] und [[Paarvernichtung|-vernichtung]] vor, wie z.&nbsp;B. im frühen Universum kurz nach dem [[Urknall]], enthält die innere Energie auch die [[Ruheenergie]] der Teilchen und ist damit das gleiche wie gesamte Ruheenergie  <math>E_0 = M\,c^2</math>, wobei <math>M</math> die Masse des Systems ist. 
*Die innere Energie eines [[Hohlraumstrahlung|Hohlraums]] ist durch die in ihm herrschende Strahlungsenergie gegeben.

Die Energie, die sich aus der Bewegung oder aus der Lage des Gesamtsystems ergibt (z. B. [[kinetische Energie]], [[Lageenergie]]), wird nicht zur inneren Energie gezählt und könnte ihr daher als ''äußere Energie'' gegenübergestellt werden.<ref>K. Stierstadt: ''Thermodynamik: Von der Mikrophysik zur Makrophysik.'' Springer, Heidelberg 2010, S. 218, {{Google Buch
| BuchID   = J46szKXgkZAC | Linktext = Thermodynamik: Von der Mikrophysik zur Makrophysik | Hervorhebung = "innere Energie"  | Seite    = 218}}.</ref>

== Änderung in thermodynamischen Prozessen ==
=== Eine Stoffsorte (''K'' = 1) ===
Der [[Thermodynamik#Erster Hauptsatz|Erste Hauptsatz der Thermodynamik]] beschreibt eine Änderung der inneren Energie als Summe der Wärmezufuhren und -entzüge sowie der verrichteten Arbeit am entsprechenden (geschlossenen) [[Thermodynamisches System|System]]:

:<math>\mathrm dU = \delta Q + \delta W = T \cdot \mathrm dS - p \cdot \mathrm dV</math>

mit
* der [[Absolute Temperatur|absoluten Temperatur]] <math>T</math>
* der [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] <math>S</math>
* dem [[Druck (Physik)|Druck]] <math>p</math> und
* dem [[Volumen]] <math>V</math>.
Auf der rechten Seite schreibt man jeweils <math>\delta</math> statt <math>\mathrm d</math>, weil es sich ''nicht'' wie bei der [[Zustandsgröße]] <math>U</math> um [[Totales Differential|totale Differentiale]] handelt, sondern um die [[Partielles Differential|partiellen Differentiale]] der [[Prozessgröße]]n <math>Q</math> und <math>W</math>. Der letzte Term hat ein negatives Vorzeichen, weil eine Vergrößerung des Volumens mit einer ''Abgabe'' von Arbeit verbunden ist.

Integriert:

:<math>\mathrm \Delta U = Q + W = \int{T \cdot \mathrm dS} - \int{p \cdot \mathrm dV}.</math>

Auf jedem geschlossenen Weg <math> c</math> gilt:

:<math>\oint \limits_c{\mathrm d}U = 0,</math>

wie immer man die Differentiale <math>\mathrm dS</math> und <math>\mathrm dV</math> wählt.

Daher gilt für [[Stationärer Prozess|stationäre]] [[Kreisprozess]]e:

:<math>\begin{align}
\mathrm \Delta U                                                   & = 0\\
\Leftrightarrow Q_1 - \left| Q_2 \right| + W_1 - \left| W_2\right| & = 0,
\end{align}</math>

wobei die mit&nbsp;1 indizierten Energien zugeführt werden (positiv) und die mit&nbsp;2 indizierten abgeführt (negativ) (vergl. [[Thermodynamik#Energiebilanz für Kreisprozesse|Energiebilanz für Kreisprozesse]]).

Bei variabler [[Stoffmenge]] <math>n</math> bzw. [[Teilchenzahl]] <math>N</math> gehört auch das [[Chemisches Potential|chemische Potential]] <math>\mu</math> zum totalen Differential hinzu ([[Fundamentalgleichung]]):

:<math>\mathrm dU = T \cdot \mathrm dS  - p \cdot \mathrm dV + \mu \cdot \mathrm dN.</math>

=== Mehrere Stoffsorten (''K'' > 1) ===
Innere Energie <math>U</math> und ihre natürlichen Variablen (Entropie&nbsp;<math>S</math>, Volumen&nbsp;<math>V</math> und Stoffmenge&nbsp;<math>N</math>) sind allesamt extensive Zustandsgrößen. Die innere Energie ändert sich bei einer Skalierung des thermodynamischen Systems [[proportional]] zur entsprechenden Zustandsgröße (S,V) mit dem Proportionalitätsfaktor&nbsp;<math>\alpha</math>:

:<math>U(\alpha \cdot S,\alpha \cdot V, \alpha \cdot N_1, \dots, \alpha \cdot N_K) = \alpha \cdot U(S,V,N_1, \dots, N_K) </math>

mit <math>N_i</math> (<math>i = 1, \dots, K</math>) : Stoffmenge der Teilchen vom Typ <math>i</math>.

Eine solche Funktion wird [[homogene Funktion]] ersten Grades genannt.

Mit dem [[Homogene Funktion#Positive Homogenität|Euler-Theorem]] und dem [[Erster Hauptsatz der Thermodynamik|ersten Hauptsatz]] folgt die '''Euler-Gleichung für die innere Energie''':<ref>[[Walter Greiner|Greiner]], Theor. Physik Bd. 9, Gleichung 2.57.</ref>

:<math>U = TS - pV + {\sum_{i=1}^{K}}\, \mu_i N_i.</math>

=== Gleichverteilungssatz für ideales Gas ===
Für ein [[ideales Gas]] gilt der [[Gleichverteilungssatz]] (innere Energie verteilt auf jeden [[Freiheitsgrad]] mit je <math>\tfrac{1}{2}\, k_\mathrm{B} T</math>).

Für ein ideales Gas mit drei Freiheitsgraden und <math>N</math> Teilchen ergibt sich:

:<math>U = \frac{3}{2}\ N k_\mathrm{B} T</math>

oder für <math>n</math> Mol eines idealen Gases mit <math>f</math> Freiheitsgraden:

:<math>U = \frac{f}{2}\ n R T.</math>

jeweils mit
* <math>k_\mathrm{B}</math> - [[Boltzmann-Konstante]]
* <math>R</math> - [[ideale Gaskonstante]].

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Tabellensammlung Chemie/ Stoffdaten Wasser#Drucktabellen|Spezifische Innere Energie des Wassers}}

[[Kategorie:Thermodynamische Zustandsgröße]]
[[Kategorie:Chemische Größe]]
[[Kategorie:Energieform]]