Quelltext der Seite Dirac-Matrizen

Die '''Dirac-Matrizen''' (nach dem britischen Physiker [[Paul Dirac]]), auch '''Gamma-Matrizen''' genannt, sind vier [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]], die der '''Dirac-Algebra''' genügen. Sie treten in der [[Dirac-Gleichung]] auf.

== Definition ==
Die Dirac-Matrizen <math>\gamma^0,\,\gamma^1\,,\gamma^2\,</math> und <math>\,\gamma^3\,</math> erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen
:<math>
\begin{align}
\gamma^0\gamma^0 &= 1\,,&\gamma^1\gamma^1 &= -1\,,&\gamma^2\gamma^2 &= -1\,,&\gamma^3\gamma^3 &= -1\,,\\
\gamma^0\gamma^1 &= -\gamma^1\gamma^0\,, &
\gamma^0\gamma^2 &= -\gamma^2\gamma^0\,, &
\gamma^0\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^0\,, &&\\
\gamma^1\gamma^2 &= -\gamma^2\gamma^1\,, &
\gamma^1\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^1\,, &
\gamma^2\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^2\,. &&
\end{align}
</math>
Diese Bedingungen betreffen [[Antikommutator]]en, also die [[Matrizenaddition|Summe]] der [[Matrizenmultiplikation|Produkte]] zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,
:<math> \{ A , B \} = A\,B + B\,A\,. </math>

In Indexnotation, in der <math>\mu</math> und <math>\nu</math>
für Zahlen aus <math>\{0,1,2,3\}</math> stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als
:<math> \{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2\,\eta^{\mu\nu}I\,. </math>
Dabei sind <math>\eta^{\mu\nu}</math> die Komponenten der [[Minkowski-Metrik]] mit Signatur (1,−1,−1,−1) und <math> I </math> ist die [[Einheitsmatrix]].

=== Die γ<sup>5</sup>-Matrix ===
Zusätzlich zu den vier Gamma-Matrizen definiert man noch die Matrix 
:<math> \gamma^5=\mathrm i\, \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\ .</math>
Sie ist ihr eigenes Inverses, <math> \gamma^5 \gamma^5 = 1\,,</math> ist hermitesch, [[Antikommutator|antivertauscht]] mit den Gamma-Matrizen, <math>\gamma^5 \gamma^\mu = - \gamma^\mu \gamma^5\,,</math> und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.

== Eigenschaften ==
Die Gamma-Matrizen erzeugen eine [[Clifford-Algebra]]. Jede [[irreduzible Darstellung]] dieser Algebra durch Matrizen besteht aus <math>4\times 4</math>-Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen [[Spinor]]en. Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen <math>-\gamma^{\mu\,\text{T}}</math> und die hermitesch adjungierten Matrizen <math>\gamma^{\mu\,\dagger}</math> den Matrizen <math>\,\gamma^\mu\,</math> äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix <math>A</math> und eine Matrix <math>C</math>, so dass
:<math>C \gamma^\mu C^{-1}=-\gamma^{\mu\,\text{T}}\ ,\quad
 A \gamma^\mu A^{-1}=\gamma^{\mu\,\dagger}\,.</math>
Die Matrix <math>A</math> ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und [[Tensor]]en aus Spinoren wichtig, die Matrix <math>C</math> tritt bei der [[Ladungskonjugation]] auf.

Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder -1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] mit den 32 Elementen,
:<math>\pm 1\,,\, \pm \gamma^\mu\,,\, \pm \gamma^\mu \gamma^\nu\,,\,\mu<\nu\,,\, 
\pm \gamma^\lambda \gamma^\mu \gamma^\nu \,,\,\lambda<\mu<\nu\,,\, \pm \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\,,\,
\text{wobei}\,\lambda,\mu,\nu\in\{0,1,2,3\}\,.</math> 

Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl [[Unitäre Gruppe|unitär]] ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass <math>\gamma^0</math> hermitesch und die drei anderen <math>\gamma</math>-Matrizen antihermitesch sind,
:<math>\gamma^{0\,\dagger}=\gamma^0\,,\,\gamma^{1\,\dagger}=-\gamma^1\,,\,\gamma^{2\,\dagger}
=-\gamma^2\,,\,\gamma^{3\,\dagger}=-\gamma^3\,.</math>

In unitären Darstellungen bewirkt <math>A=\gamma^0</math> die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen
:<math> \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0=\gamma^{\mu\,\dagger}\,.</math>

Mithilfe der Eigenschaften von <math>\gamma^5</math> kann gezeigt werden, dass die [[Spur (Mathematik)|Spur]] jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet. 
:<math>
\begin{align}
 \text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\bigr)
&=
 \text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\gamma^5\bigr)=
 -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^5\gamma^{\mu_1}\dots  \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\bigr)\\
&=
 -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots  \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\gamma^5\bigr)=
 -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots  \gamma^{\mu_{2n+1}}\bigr)
\end{align}
</math>
Im vorletzten Schritt haben wir dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei [[Zyklische Permutation|zyklischer Vertauschung]] der Faktoren nicht ändert und demnach <math>\text{Spur}\,(\gamma^5\,B)= \text{Spur}\,(B\,\gamma^5)</math> gilt.

Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)
:<math>
\text{Spur}\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
= \frac 1 2 \text{Spur}(\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu +\gamma^\nu\,\gamma^\mu) 
= \frac{2\, \eta^{\mu\nu}}{2} \text{Spur 1} = 4 \,\eta^{\mu\nu}\,.
</math>
Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei. 
:<math>
\begin{array}{rcl}
    2\,\text{Spur}\,\gamma^\kappa \,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
&=& \text{Spur} (\,\gamma^\kappa \,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
    + \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\,\gamma^\kappa )\\
&=& \text{Spur} (\,\gamma^\kappa\,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu 
    + \gamma^\lambda \,\gamma^\kappa\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\\
  &&\ \ \ \ -\gamma^\lambda \,\gamma^\kappa\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
    - \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\kappa\,\gamma^\nu\\
  &&\ \ \ \ +\gamma^\lambda \,\gamma^\mu\,\gamma^\kappa\,\gamma^\nu
    + \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\,\gamma^\kappa)\\
&=& 2\,\eta^{\kappa\lambda} \text{Spur} (\gamma^\mu\,\gamma^\nu)
    - 2\,\eta^{\kappa\mu} \text{Spur} (\gamma^\lambda\,\gamma^\nu)
    + 2\,\eta^{\kappa\nu} \text{Spur} (\gamma^\lambda\,\gamma^\mu)
\end{array}
</math>
Daher gilt :
:<math>
\begin{array}{rcl}
\text{Spur} \,\gamma^\kappa\,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
&=& 4\,(\eta^{\kappa\lambda}\,\eta^{\mu\nu} -\eta^{\kappa\mu}\,\eta^{\lambda\nu} +\eta^{\kappa\nu}\,\eta^{\lambda\mu})
\end{array}
</math>
Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.

== Dirac-Gleichung ==
Dirac führte die Gamma-Matrizen ein, um die [[Klein-Gordon-Gleichung]], die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln.

In [[Natürliche_Einheiten|natürlichen Einheiten]] kann die Dirac-Gleichung wie folgt geschrieben werden
:<math> (i \gamma^\mu \partial_\mu -m) \psi = 0</math>
wobei <math> \psi </math> ein Dirac-[[Spinor]] ist. 

Multipliziert man beide Seiten mit <math> -(i \gamma^\nu \partial_\nu + m) </math> erhält man
:<math> (\eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu + m^2) \psi = (\partial^2 + m^2) \psi = 0, </math>
also gerade die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Masse <math>m</math>.

== Zusammenhang zu Lorentz-Transformationen ==
Die sechs Matrizen 
:<math>\Sigma ^{\mu\nu} = \frac{1}{4}\bigl( \gamma^\mu \gamma^\nu - \gamma^\nu \gamma^\mu\bigr)</math>
bilden die Basis einer [[Lie-Algebra]], die der [[Lorentz-Gruppe#Lie-Algebra|Lie-Algebra der Lorentztransformationen]] [[isomorph]] ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren <math>\psi</math>. 

=== Chiralität ===
Aus <math>(\gamma^5)^2=1</math> und <math>\text{Spur}\,\gamma^5=0</math> folgt, dass die Matrizen 
:<math>
P_L = \frac{1-\gamma^5}{2}\,,\quad
P_R = \frac{1+\gamma^5}{2} </math>

Projektoren sind, 
:<math>(P_L)^2=P_L\,,\,(P_R)^2=P_R\,,</math>
die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren, 
:<math>P_L\,P_R=0\,,\ \text{Spur}\,P_L=\text{Spur}\,P_R=2\,,\quad P_L+P_R=1\,.</math>
Diese Unterräume unterscheiden Teilchen verschiedener [[Chiralität (Physik)|Chiralität]].

Weil <math>\gamma^5</math> mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht, 
:<math>\gamma^5 \Sigma^{\mu\nu}= \Sigma^{\mu\nu}\gamma^5\,,</math> 
sind die Unterräume, auf die <math>P_L</math> und <math>P_R</math> projizieren, invariant unter den von <math>\Sigma^{\mu\nu}</math> erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile, <math>\psi_L = P_L \psi</math> und <math>\psi_R = P_R \psi</math>, eines Spinors <math>\psi</math> transformieren getrennt voneinander.

=== Parität ===
Wegen <math>\gamma^0\gamma^5\gamma^0 = - \gamma^5</math> ändert ein Term, der <math>\gamma^5</math> enthält, unter der [[Parität (Physik)|Paritätstransformation]] sein Vorzeichen, es macht also aus Skalaren [[Pseudoskalar]]e und aus Vektoren [[Pseudovektor]]en.

Allgemein folgen Größen, die man aus <math>\overline{\psi}=\psi^\dagger A=\psi^\dagger \gamma^0</math>, Gamma-Matrizen und einem eventuell von <math>\psi</math> verschiedenen Spinor <math>\chi</math> zusammensetzt, einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren
* <math> \overline \psi \chi </math> wie ein Skalar, 
* <math> \overline \psi\gamma^\mu \chi </math> wie die Komponenten eines [[Vierervektor]]s,
* <math> \overline \psi\Sigma^{\mu\nu} \chi </math> wie die Komponenten eines antisymmetrischen Tensors,
* <math> \overline \psi\gamma^\mu\gamma^5 \chi </math> wie die Komponenten eines axialen Vierervektors,
* <math> \overline \psi\gamma^5 \chi </math> wie ein Pseudoskalar.

== Feynman-Slash-Notation ==
[[Richard Feynman]] erfand die nach ihm benannte Slash-Notation (auch Feynman-Dolch oder Feynman-Dagger). In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma-Matrizen <math>\textstyle \sum_{\mu=0}^3\,\gamma^\mu A_\mu</math>  abgekürzt geschrieben als
:<math>A\!\!\!/\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{\mu=0}^3 \gamma^\mu A_\mu</math>.

Dadurch kann z.&nbsp;B. die [[Dirac-Gleichung]] sehr übersichtlich geschrieben werden als
:<math>\Bigl( i \partial \!\!\!/\ - \frac{mc}{\hbar} \Bigr)\, \psi(x) = 0\ ,</math>
oder in natürlichen Einheiten
:<math>\Bigl( i \partial \!\!\!/\ - m \Bigr)\, \psi(x) = 0\ .</math>

== Dirac-Darstellung ==

In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (wir schreiben verschwindende Matrixelemente nicht aus)
:<math>
\begin{array}{c c}
\gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 &  &  &  \\  & 1 &  &  \\  &  & -1 &  \\  &  &  & -1 \end{pmatrix}\,,&
\gamma^1 = \begin{pmatrix}  &  &  & 1 \\  &  & 1 &  \\  & -1 &  &  \\ -1 &  &  &  \end{pmatrix}\,,\\ \,& \,\\
\gamma^2 = \begin{pmatrix}  &  &  & -\mathrm i \\  &  & \mathrm i &  \\  &  \mathrm i & & 
\\ -\mathrm i &  &  &  \end{pmatrix}\,, &
\gamma^3 = \begin{pmatrix}  &  & 1 &  \\  &  &  & -1 \\ -1 &  &  &  \\  & 1 &  &  \end{pmatrix} \,.
\end{array}
</math>
Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der [[Pauli-Matrizen]] schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine <math>2 \times 2</math>-Matrix):
:<math> 
\gamma^0 = \begin{pmatrix} 
  1  &  \\
     & -1
\end{pmatrix}\,,\quad 
\gamma^i = \begin{pmatrix} 
         & \sigma^i \\
 -\sigma^i & 
\end{pmatrix}\, ,\;i\in\{1,2,3\}\,,\quad
\gamma^5 = \begin{pmatrix}
  & 1 \\
 1 & 
\end{pmatrix}\,.
</math>

Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des [[Kronecker-Produkt]]es auch folgendermaßen generieren:
:<math>
\gamma^0=\sigma^3\otimes 1,\quad \gamma^i=\mathrm i \sigma^2\otimes\sigma^i, \;i\in\{1,2,3\} , \quad \gamma^5=\sigma^1\otimes1
</math>

== Weyl-Darstellung ==

Die nach [[Hermann Weyl]] benannte ''Weyl-Darstellung'' heißt auch ''chirale Darstellung''. In ihr ist <math>\gamma^5</math> diagonal,
:<math>
\gamma^5 = \begin{pmatrix}
 -1 &  \\
  & 1
\end{pmatrix}\,,\quad
P_L = \frac{1-\gamma^5}{2} = \begin{pmatrix}
 1 &  \\
  & 0
\end{pmatrix}\,,\quad
P_R = \frac{1+\gamma^5}{2} = \begin{pmatrix}
 0 &  \\
  & 1
\end{pmatrix}\,.
</math>
Im Vergleich zur Dirac-Darstellung werden <math>\gamma^0</math> und <math>\gamma^5</math> verändert, die räumlichen <math>\gamma</math>-Matrizen bleiben unverändert:
:<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix}
  & 1 \\
 1 & 
\end{pmatrix}\,,\quad
\gamma^i = \begin{pmatrix}
  & \sigma^i \\
 - \sigma^i & 
\end{pmatrix}\,,\quad
\gamma^5 = \begin{pmatrix}
 -1 &  \\
  & 1
\end{pmatrix}
</math>
Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,
:<math>
\gamma^\mu_{\text{Weyl}}=U\,\gamma^\mu_{\text{Dirac}}U^{-1}\text{ mit }
U=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & -1\\
1 & 1
\end{pmatrix},\ 
U^{-1}=U^\dagger=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1 & 1\\
-1 & 1
\end{pmatrix}\,.
</math>

Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.

Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der [[Weyl-Gleichung]], der masselosen Dirac-Gleichung.

== Majorana-Darstellung ==

In der [[Ettore Majorana|Majorana]]-Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Dann ist die Dirac-Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem,
:<math>
\begin{align}
\gamma^{0} &= \begin{pmatrix}
  & -\sigma^2 \\
 -\sigma^2 & 
\end{pmatrix}\,,&
\gamma^{1} &= \begin{pmatrix}
  &\mathrm  i\sigma^3 \\
\mathrm i\sigma^3 & 
 \end{pmatrix}\,,&\\
&\, & &\\
\gamma^{2}&= \begin{pmatrix}
\mathrm  i &  \\
  & -\mathrm i
\end{pmatrix}\,,&
\gamma^{3} &= \begin{pmatrix}
  & -\mathrm i\sigma^1 \\
 -\mathrm i\sigma^1 & 
\end{pmatrix}\,,&
\gamma^{5} &= \begin{pmatrix}
  & \mathrm i \\
 -\mathrm i & 
\end{pmatrix}\,.
\end{align}
</math>

== Literatur ==

* [[James Bjorken]] und [[Sidney Drell]]: ''Relativistische Quantenmechanik'', BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990, (BI-Hochschultaschenbuch Band 98), ISBN 3-411-00098-8 <!-- --  engl. Originalausgabe: ''Relativistic Quantum Mechanics''. McGraw-Hill, New York 1964, ISBN 0-07-005493-2

* [[James Bjorken]], [[Sidney Drell]]: ''Relativistische Quantenfeldtheorie''. [dt. Übers.: J. Benecke, D. Maison, E. Riedel]. -  [Unveränd. Nachdr.] - Mannheim, Zürich - BI-Wissenschaftsverlag, 1993. (BI-Hochschultaschenbuch ; 101 - ISBN 3-411-00101-1 --  engl. Originalausgabe: ''Relativistic Quantum Fields.'' McGraw-Hill, New York 1965, ISBN 0-07-005494-0!-->
* [[Michael Peskin]] and Daniel V. Schroeder: ''An Introduction to Quantum Field Theory'', Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1995, ISBN 0-201-50397-2
* [[Josef-Maria Jauch]] and [[Fritz Rohrlich]]: ''The theory of photons and electrons'', Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1955
* Ferdinando Gliozzi, Joel Sherk and David Olive, ''Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model'', Nucl. Phys. B122, 253-290, 1977. (Dirac-Algebra in höheren Dimensionen)

[[Kategorie:Quantenphysik]]
[[Kategorie:Darstellungstheorie]]
[[Kategorie:Matrix]]