Zeltabbildung

Die Zeltabbildung $\textstyle T_{2}$ ist eine mathematische Funktion mit dem Definitions- und Wertebereich $\textstyle [0,1]$ . Sie ist eine der einfachsten Funktionen, mit deren Hilfe sich die chaotische Dynamik nichtlinearer deterministischer Abbildungen untersuchen und insbesondere die Kernaussage des Schmetterlingseffekts verifizieren lässt, dass beliebig kleine Änderungen in den Anfangsparametern große Auswirkungen haben können.

Definition und Eigenschaften

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Grafische Darstellung der Zeltabbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle T_2 .

Die Zeltabbildung ist definiert durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T_2\colon [0,1] \rightarrow [0,1],\; x \mapsto \begin{cases} 2x, & \text{wenn }x \in [0,\frac{1}{2}]\\ 2-2x, & \text{wenn }x \in {]\frac{1}{2},1]} \end{cases}

Fixpunkte und periodische Punkte

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x \in \{0,\frac{2}{3}\} bildet die Funktion den Eingabewert auf sich selbst ab. Des Weiteren ergibt sich aus der Struktur der Funktion, dass alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x_0 \in \R , die sich als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x_0=\frac{a}{2^n} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a\in \{0,1,\dotsc,2^n\} darstellen lassen, nach spätestens $$ n+1 $$ Iterationen den Fixpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle 0 erreichen. Außerdem gibt es für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle n \in \N periodische Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x_n mit der Primperiode Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle n , bei denen die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n -fach wiederholte Anwendung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle T_2 zum Anfangswert $\textstyle x_{n}$ führt^[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_n \in \begin{cases} \{0, \frac{2}{3}\}, & \text{wenn }n = 1\\ \{\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\}, & \text{wenn }n = 2\\ \{\frac{2}{9}, \frac{2}{7}, \frac{4}{9}, \frac{4}{7}, \frac{6}{7}, \frac{8}{9}\}, & \text{wenn }n = 3\\ \{ \dots \}, & \text{wenn }n \in \N\\ \end{cases}

Demonstration des Schmetterlingseffekts

Wendet man die Zeltabbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle T_2(x) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle n -fach hintereinander auf einen Anfangswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x_0 an, erhält man eine neue Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle F_{x_0} :

F_{x_{0}}\colon \mathbb {N} \rightarrow [0,1],\;n\mapsto T_{2}^{n}(x_{0})

Datei:Schmetterlingseffekt bsp.svg

Differenz der Werte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle F_{x}(n) für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x_0 = 0{,}506 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x_0 = 0{,}506127 aufgetragen gegen die Anzahl der Iterationen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle n . Schon nach wenigen Iterationen ist die Differenz der Ausgangszustände praktisch nicht mehr durch eine störungstheoretische Betrachtung des kleinen Unterschieds im Anfangswert vorhersagbar.

Vergleicht man die Werte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle F_{x}(n) für zwei beliebig nahe beieinander liegende Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x , findet man bei hinreichend großen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle n innerhalb des Wertebereiches beliebig große Differenzen im Intervall $$ (0,1) $$ .

Siehe auch

Dreiecksfunktion

Einzelnachweise

↑ Julio R. Hasfura-Buenaga, Phillip Lynch: Periodic Points of the Family of Tent Maps. (pdf) Abgerufen am 23. März 2017 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).

Weblink

Lehrmaterial zur Zeltabbildung von der Uni Mainz, abgerufen am 17. Juli 2018

[1] Julio R. Hasfura-Buenaga, Phillip Lynch: Periodic Points of the Family of Tent Maps. (pdf) Abgerufen am 23. März 2017 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).

[1]