Zeltabbildung

Die Zeltabbildung $T_{2}$ ist eine mathematische Funktion mit dem Definitions- und Wertebereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle [0,1] . Sie ist eine der einfachsten Funktionen, mit deren Hilfe sich die chaotische Dynamik nichtlinearer deterministischer Abbildungen untersuchen und insbesondere die Kernaussage des Schmetterlingseffekts verifizieren lässt, dass beliebig kleine Änderungen in den Anfangsparametern große Auswirkungen haben können.

Definition und Eigenschaften

Datei:Zeltabbildung.svg

Grafische Darstellung der Zeltabbildung

T_{2}

.

Die Zeltabbildung ist definiert durch:

T_{2} : [0, 1] \to [0, 1], x \mapsto {\begin{cases} 2 x, & wenn x \in [0, \frac{1}{2}] \\ 2 - 2 x, & wenn x \in] \frac{1}{2}, 1] \end{cases}

Fixpunkte und periodische Punkte

Für $x \in {0, \frac{2}{3}}$ bildet die Funktion den Eingabewert auf sich selbst ab. Des Weiteren ergibt sich aus der Struktur der Funktion, dass alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x_0 \in \R , die sich als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x_0=\frac{a}{2^n} mit $a \in {0, 1, \dots, 2^{n}}$ darstellen lassen, nach spätestens $n + 1$ Iterationen den Fixpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle 0 erreichen. Außerdem gibt es für jedes $n \in N$ periodische Punkte $x_{n}$ mit der Primperiode $n$ , bei denen die $n$ -fach wiederholte Anwendung von $T_{2}$ zum Anfangswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x_n führt^[1]

x_{n} \in {\begin{cases} {0, \frac{2}{3}}, & wenn n = 1 \\ {\frac{2}{5}, \frac{4}{5}}, & wenn n = 2 \\ {\frac{2}{9}, \frac{2}{7}, \frac{4}{9}, \frac{4}{7}, \frac{6}{7}, \frac{8}{9}}, & wenn n = 3 \\ {\dots}, & wenn n \in N \end{cases}

Demonstration des Schmetterlingseffekts

Wendet man die Zeltabbildung $T_{2} (x)$ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle n -fach hintereinander auf einen Anfangswert $x_{0}$ an, erhält man eine neue Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle F_{x_0} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F_{x_0}\colon \N \rightarrow [0,1],\; n \mapsto T_2^n(x_0)

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Differenz der Werte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle F_{x}(n) für

x_{0} = 0,506

und

x_{0} = 0,506 127

aufgetragen gegen die Anzahl der Iterationen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle n . Schon nach wenigen Iterationen ist die Differenz der Ausgangszustände praktisch nicht mehr durch eine störungstheoretische Betrachtung des kleinen Unterschieds im Anfangswert vorhersagbar.

Vergleicht man die Werte von $F_{x} (n)$ für zwei beliebig nahe beieinander liegende Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \textstyle x , findet man bei hinreichend großen $n$ innerhalb des Wertebereiches beliebig große Differenzen im Intervall $(0, 1)$ .

Siehe auch

Dreiecksfunktion

Einzelnachweise

↑ Julio R. Hasfura-Buenaga, Phillip Lynch: Periodic Points of the Family of Tent Maps. (pdf) Abgerufen am 23. März 2017 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).

Weblink

Lehrmaterial zur Zeltabbildung von der Uni Mainz, abgerufen am 17. Juli 2018

[1] Julio R. Hasfura-Buenaga, Phillip Lynch: Periodic Points of the Family of Tent Maps. (pdf) Abgerufen am 23. März 2017 (Lua-Fehler in Modul:Multilingual, Zeile 149: attempt to index field 'data' (a nil value)).

[1]