Mikrozustand

Ein Mikrozustand ist in der statistischen Physik die vollständige mikroskopische Beschreibung eines thermodynamischen Systems. Ein Mikrozustand entspricht damit einem Punkt im Phasenraum des ganzen Systems (nicht dem eines Teilchens). Für ein klassisches ideales Gas sind damit die Orte und Impulse aller Teilchens festgelegt.

Im Gegensatz zum Mikrozustand beschreibt der Makrozustand das System durch seine gemittelten Parameter, wie etwa Temperatur, Druck oder Magnetisierung. Ein thermodynamisches System mit gegebenem Makrozustand besetzt nun verschiedene Mikrozustände der Energie $ E_{i} $ mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit $ p_{i} $. Aus diesen Mikrozuständen zusammen mit ihren Wahrscheinlichkeiten lassen sich viele Parameter des Systems berechnen.

Oft sind einige Mikrozustände eines abgeschlossenen Systems nach außen hin nicht unterscheidbar (z. B. weil sie die gleiche Gesamtenergie und den gleichen Gesamtimpuls oder die gleiche Gesamtmagnetisierung haben). Gemäß dem Postulat der gleichen a-priori-Wahrscheinlichkeiten tritt im thermischen Gleichgewicht jeder dieser Mikrozustände mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Es kann nicht belegt werden, ist aber die einzig plausible Annahme, da jede Auszeichnung eines dieser Zustände durch eine veränderte Wahrscheinlichkeit eine gewisse Willkür bedeuten würde.^[1]

Mikroskopische Definition thermodynamischer Größen

Die statistische Physik definiert die thermodynamischen Eigenschaften eines Systems über ein Ensemble von $ N $ Mikrozuständen. Jedem Mikrozustand $ i $ kann eine Energie $ E_{i} $ und eine Besetzungswahrscheinlichkeit $ p_{i} $ zugeordnet werden, die sich aus den Eigenschaften des Mikrozustandes ergeben. Mit diesen Definitionen können dann Kennzahlen des Systems als Mittelwert der Mikrozustände (Ensemblemittelwert) berechnet werden (siehe auch Ergodenhypothese). Beispiele:

• Die innere Energie $ U $ ist die Energie des zugehörigen Makrozustandes als Erwartungswert über die Energien der Mikrozustände:

$ U\,:=\,\langle E\rangle \,=\,\sum \limits _{i=1}^{N}p_{i}\,E_{i} $

• Die Entropie $ S $ des Gesamtsystems hängt nur von den Wahrscheinlichkeiten der Mikrozustände ab und ist definiert als der Erwartungswert der Entropien der Mikrozustände $ S_{i}=-k_{\mathrm {B} }\ln(p_{i}) $:

$ S\,:=\sum _{i}p_{i}S_{i}:=\,-k_{\mathrm {B} }\cdot \sum \limits _{i=1}^{N}p_{i}\,\ln(p_{i})=\,-k_{\mathrm {B} }\cdot \langle \ln(p_{i})\rangle $

Dabei ist $ k_{\mathrm {B} } $ die Boltzmann-Konstante. Diese Definition entspricht (ohne $ k_{\mathrm {B} } $) der Shannon'schen Informationsentropie

Weitere thermodynamische Größen können über den Formalismus der Zustandssummen berechnet werden. Dabei wird die Anzahl der Mikrozustände für gewisse Randbedingungen gezählt. Die Verteilung der Mikrozustände im Phasenraum wird von der Zustandsdichte angegeben.

Beispiele

Klassisches Gas

Simulation eines idealen Gases in zwei Dimensionen. Einige Moleküle sind rot gezeichnet, damit sich ihre Bewegung leichter verfolgen lässt

In der klassischen Physik wird ein Gas als Menge von $ N $ punktförmigen Teilchen der Masse $ m $ angenommen. Die Teilchen haben die Positionen $ {\vec {x}}_{i,j} $ und die Geschwindigkeiten $ {\vec {v}}_{i,j} $. Der Index $ j $ nummeriert die Teilchen durch, der Index $ i $ ist die Nummer eines möglichen Mikrozustands; ein Mikrozustand ist dabei die Angabe der Positionen und momentanen Geschwindigkeiten aller Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt.

Die mittlere Energie des Mikrozustands lässt sich dann aus den kinetischen Energien der Gasteilchen berechnen:

$ E_{i}\,=\,{\frac {1}{N}}\sum \limits _{j=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m\,{\vec {v}}_{i,j}^{2} $

Es gibt viele Zustände mit der Energie $ E_{i} $, da nur die Geschwindigkeiten, nicht aber die Positionen der Teilchen zu dieser Größe beitragen. Gemäß dem Postulat der gleichen A-priori-Wahrscheinlichkeiten hat jeder dieser Zustände die gleiche Wahrscheinlichkeit.

Die Teilchen stoßen elastisch aneinander und an die Wände des Gefäßes. Dadurch stellt sich nach einiger Zeit ein thermisches Gleichgewicht ein, in dem die Verteilung der Geschwindigkeiten der Einzelteilchen der Maxwell-Boltzmann-Verteilung folgt.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Zustand mit der Energie $ E_{i} $ ist:

$ p_{i}\,\propto \,\exp \left(-{\frac {E_{i}}{k_{\mathrm {B} }\,T}}\right) $

Dabei ist

• $ \textstyle T $ die Temperatur des Gases
• $ \textstyle k_{\mathrm {B} }\,T $ die thermische Energie des Gases und
• $ \textstyle \exp \left(-{\frac {E_{i}}{k_{\mathrm {B} }\,T}}\right) $ der Boltzmann-Faktor.

Ising-Modell

Ein weiteres Beispiel der statistischen Physik ist das Ising-Modell. Bei diesem eindimensionalen System von Spins sind $ N $ Teilchen in einer Reihe angeordnet. Dabei zeigt der Spin jedes Teilchens entweder nach oben $ s_{\uparrow }=+1 $ oder nach unten $ s_{\downarrow }=-1 $. Liegt zusätzlich ein externes Magnetfeld mit der Feldstärke $ H $ an, so lässt sich die Energie eines Mikrozustandes berechnen als:

$ E_{i}\,=\,\mu _{\mathrm {B} }\,H\,\sum \limits _{j=1}^{N}s_{j} $

Dabei ist $ \mu _{\mathrm {B} } $ das Bohrsche Magneton. Für den Fall $ N=3 $ kann man die möglichen Mikrozustände und ihre Energie direkt aufschreiben:

Auch in diesem Beispiel kann ein Makrozustand gegebener Energie durch verschiedene Mikrozustände dargestellt werden.

Literatur

Die meisten Lehrbücher der statistischen Physik, wie etwa:

• Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 6: Statistische Physik.. Springer DE, 1 October 2007, ISBN 978-3-540-68870-9 (Zugriff am 6 January 2013).
• Schwabl: Statistische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin, 3. Auflage 2006, ISBN 978-3-540-31095-2
• Wachter, Hoeber: Repetitorium Theoretische Physik. Springer Verlag. ISBN 3-540-21457-7

Einzelnachweise