Mit der Thomsonschen Schwingungsgleichung lässt sich die Resonanzfrequenz $ f_{0} $ eines Schwingkreises (Reihenschwingkreis und idealer Parallelschwingkreis) mit der Kapazität C und der Induktivität L berechnen. Sie wurde 1853 von dem britischen Physiker William Thomson erstmals formuliert und lautet:
- $ f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}} $
Oder umgeformt für die Periodendauer (Schwingungszeit):
- $ T={\frac {1}{f_{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}} $
Herleitung
Allgemein
Im Resonanzfall ist der Resonanzwiderstand so groß wie der Serienwiderstand. Der kapazitive Widerstand des Kondensators und der induktive Widerstand der Spule innerhalb des Schwingkreises kompensieren sich auf null:
- $ X_{L}+X_{C}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad \omega _{0}L-{\frac {1}{\omega _{0}C}}=0 $
- $ \omega _{0}L={\frac {1}{\omega _{0}C}} $
- $ 2\pi f_{0}L={\frac {1}{2\pi f_{0}C}} $, da gilt $ \omega =2\pi f $
- $ {f_{0}}^{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}LC}} $
- $ f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}} $, üblich ist auch die Form: $ \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}} $
Nach dem Energieerhaltungssatz
Betrachten wir den elektrischen Schwingkreis als ein geschlossenes System, so ist die Summe aller Energieformen in diesem System zu jeder Zeit t konstant.
- $ \!\,E_{\mathrm {mag} }(t)+E_{\rm {el}}(t)=E_{\rm {Gesamt}} $
- $ E_{\mathrm {mag} } $: magnetische Feldenergie der Spule
- $ E_{\mathrm {el} } $: elektrische Feldenergie des Kondensators
- $ E_{\mathrm {Gesamt} } $: Gesamtenergie des Systems (konstant)
Setzt man die entsprechenden Formeln ein, so kommt man auf folgende Differentialgleichung:
- $ {\frac {1}{2}}LI^{2}(t)+{\frac {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{\mathrm {Gesamt} } $
Aus
- $ I(t)={\frac {dQ(t)}{dt}}={\dot {Q}}(t) $
folgt:
- $ {\frac {1}{2}}L{\dot {Q}}^{2}(t)+{\frac {1}{2C}}Q^{2}(t)=E_{\mathrm {Gesamt} } $
Nun leitet man diese Gleichung nach der Zeit ab und erhält:
- $ L{\dot {Q}}{\ddot {Q}}(t)+{\frac {1}{C}}Q{\dot {Q}}(t)=0 $
- $ I(t)\left(L{\ddot {Q}}+{\frac {1}{C}}Q(t)\right)=0 $
- $ L{\ddot {Q}}+{\frac {1}{C}}Q(t)=0 $, da im Schwingkreis gilt: $ I(t)\neq 0 $.
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir einen Zusammenhang zwischen $ Q(t) $ und $ {\ddot {Q}}(t) $ herstellen. Dazu verwenden wir eine Sinusfunktion als Lösungsansatz, da sie sich auf Grund ihrer Periodizität gut zur Beschreibung einer Schwingung eignet.
- $ Q(t)={\hat {Q}}\cdot \sin(\omega t+\varphi ) $
- $ {\dot {Q}}(t)=\omega {\hat {Q}}\cdot \cos(\omega t+\varphi ) $
- $ {\ddot {Q}}(t)=-\omega ^{2}{\hat {Q}}\cdot \sin(\omega t+\varphi )=-\omega ^{2}\cdot Q(t) $
- $ {\hat {Q}} $: maximale Ladung (Amplitude)
- $ \omega $: Kreisfrequenz
- $ \varphi $: Phasenverschiebung
Durch Einsetzen ergibt sich:
- $ {\frac {1}{C}}Q(t)-\omega ^{2}LQ(t)=0 $
- $ Q(t)\left({\frac {1}{C}}-\omega ^{2}L\right)=0 $
- $ {\frac {1}{C}}-\omega ^{2}L=0 $, da im Schwingkreis gilt: $ Q(t)\neq 0 $
Daraus folgt mit $ \omega =2\pi f $:
- $ {\frac {1}{C}}-4\pi ^{2}f_{0}^{2}L=0 $
- $ {f_{0}}^{2}={\frac {1}{4\pi ^{2}LC}} $
- $ f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}} $
Die thomsonsche Schwingungsgleichung gilt nur für Serienschwingkreise und ideale Parallelschwingkreise. Bei komplexeren Topologien muss, ausgehend von $ X_{L}=X_{C} $, die Frequenz abgeleitet werden.
Des Weiteren muss bei der Anwendung der thomsonschen Schwingungsgleichung darauf geachtet werden, dass sich das jeweilige System im Schwingfall befindet – die Dämpfung durch den ohmschen Widerstand also nicht zu groß ist. Bei nicht zu großer Dämpfung kann die beim Parallelschwingkreis veränderte Resonanzfrequenz mit dem Verlustwiderstand RL von L berechnet werden:
- $ \omega _{D}=\omega _{0}{\sqrt {1-R_{L}^{2}{\frac {C}{L}}}} $
Literatur
- Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 12. Auflage. Band 1. Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4.
Weblinks
