Rapidität (Physik)

Die Rapidität ist ein alternatives Maß für Geschwindigkeit, das in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. Als Formelzeichen wird meist $ \theta $ (kleines Theta) verwendet. Erstmals formuliert wurde der Begriff im Jahr 1911 von Alfred Robb.

Die Rapidität ist definiert als

$ \theta =\operatorname {artanh} (v/c), $

wobei

• $ v $ die Geschwindigkeit und
• $ c $ die Lichtgeschwindigkeit
• $ \operatorname {artanh} $ die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist.

Die Rapidität misst die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit, die ein beschleunigter Körper ohne relativistische Effekte hätte. Die Rapidität ist daher unbeschränkt (Wertebereich $ \theta =(-\infty ,+\infty ) $), was eine natürlichere Betrachtungsweise darstellt als die Beschränkung der tatsächlichen Geschwindigkeit, die niemals die Lichtgeschwindigkeit überschreiten kann (Wertebereich $ v=(-c,+c) $).

Außerdem hat die Rapidität den Vorteil, dass zwei Rapiditäten einfach addiert werden können, während man bei Geschwindigkeiten das relativistische Additionstheorem verwenden muss.^[1]

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten nähert sich die Rapidität dem Wert von $ {\frac {v}{c}} $ an:

$ v\ll c\Leftrightarrow v/c\ll 1\Rightarrow \theta \approx v/c. $

In der Teilchenphysik

Anstelle der exakten Formel

$ \theta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+cp}{E-cp}}\right) $

mit

• $ \beta =v/c $
• Energie $ E $
• Impuls $ p=|{\vec {p}}| $

wird in der experimentellen Teilchenphysik oft eine relativ zur Strahlachse definierte Rapidität gemäß

$ \theta _{\text{Beamline}}={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+cp_{L}}{E-cp_{L}}}\right) $

verwendet, worin der Longitudinalimpuls $ p_{L} $ die Impulskomponente entlang der Strahlachse ist.

Die verwandte Größe der Pseudorapidität ist definiert als^[2]

$ \eta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}}\right). $

Einzelnachweise