Elongation (Astronomie)

Datei:Positional astronomy de.svg
Die Elongationen (Winkelabstände) von Planeten in Bezug auf die Sonne, von der Erde aus gesehen

Als Elongation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi wird in der Astronomie der von einem Beobachter aus gesehene Winkelabstand zweier Himmelsobjekte bezeichnet. Im Allgemeinen steht der Beobachter auf der Erde, und die Elongation beschreibt den beobachteten (scheinbaren) Abstand eines Planeten von der Sonne.

Die Elongation wird westlich bzw. östlich der Sonne jeweils von 0° bis 180° gemessen. Westliche Elongation bedeutet, das Objekt geht vor der Sonne auf und kann am Morgenhimmel gesehen werden; bei östlicher Elongation geht es nach der Sonne unter und kann am Abendhimmel beobachtet werden.

Zum Problem der Definition

Es sind zwei unterschiedliche Definitionen der Elongation gebräuchlich:

  • Der vom Erdmittelpunkt aus gesehene („geozentrische“) sphärische Winkelabstand zwischen einem Planeten und der Sonne, gemessen entlang der Ebene, in welcher der Planet, die Erde und die Sonne liegen.[1]
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi = \sphericalangle (\mathbf g \mathbf R) , also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos \psi = \frac { \mathbf g \cdot \mathbf R} { g R} [2]
    R … geozentrischer Ortsvektor von der Erde zur Sonne
    g … geozentrischer Ortsvektor von der Erde zum Planeten
    Dieser Winkel liegt dem Phasenwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Phi\, im Dreieck Erde–Planet–Sonne gegenüber, und es gilt:
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi \in\, ] 0, 180 [
  • Die Differenz der geozentrischen ekliptikalen Längen des Planeten und der Sonne.[3]
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi = \Delta \lambda
    λ … geozentrische ekliptikale Länge
    mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi \in\; ] -180, 180 ]

Für ekliptiknahe Objekte und große Winkelabstände ist der Unterschied der beiden Definitionen, bis auf das Vorzeichen, gering. Befindet sich der Planet jedoch scheinbar nahe der Sonne, können sich die Winkelangaben nach beiden Definitionen erheblich unterscheiden.

Die Elongation ist einer der klassischen Winkel der beobachtenden Astronomie und wird schon seit Leonhard Euler verwendet. Der Name ist eine wissenschaftslateinische Bildung zu ex- und Lateinisch Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable ‚lang‘, auch engl. Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable bedeutet die ‚Dehnung, Längenänderung‘ (rheol., tech., med.),[4][5] wird aber in der Astronomie in Sinne ‚Auslenkung‘ (eines umlaufenden Himmelskörpers um sein Zentrum) verwendet. So gibt man die größte Elongation an, also den maximalen Winkelabstand, den ein Planet haben kann, wenn man ihn von außerhalb seiner Bahn betrachtet.

Die Elongation eignet sich insbesondere für die Störungsrechnung, weil sie die Einflüsse der anderen Körper im System einfach parametrisiert, und findet sich als solcher Ende des 19. Jahrhunderts in der Planetentheorie von Hill und Newcomb wie auch der Mondtheorie nach Brown (ILE). Diese Theorien vernachlässigten aber die vorhandenen, wenn auch kleinen ekliptikalen Breiten der Sonne und der einzelnen Planeten, sodass sphärischer und ekliptikaler Winkelabstand ineinanderfielen. Als Bahnelement in der Mondtheorie nach Brown-Eckert (j=2) geht man auf den Delaunay-Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D\, für die mittlere Elongation über, der dabei als gebrochener Winkel ekliptikal von der Sonne zum Mondknoten, und von dort in der Mondbahnebene zum Mond zu messen ist.[6]

Eine unachtsame Verwendung des Begriffs Elongation in der Fachliteratur hat dann zu dieser unbefriedigenden Definitionslage geführt. Die erste – ekliptikale – Definition wird beispielsweise vom Astronomical Almanac verwendet, die zweite – sphärische – unter anderem vom Annuaire du Bureau des Longitudes,[3] die dritte – als gebrochener Winkel – in der Mondtheorie, was bis zur Entwicklung der modernen Computerastronomie aber kaum eine Rolle spielte: Relevante Rechengenauigkeiten, und die visuelle Präzision, diese zu kontrollieren, waren erst in den 80er-Jahren erreicht.

Probleme macht die Abweichung insbesondere in der Bemessung der exakten Zeitpunkte von Konjunktion und Opposition, deren klassische Definition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi:= 0 lautet. Zieht ein Planet für einen irdischen Beobachter scheinbar hinter der Sonne vorbei (Konjunktion), oder vor ihr (Durchgang), so zieht er aufgrund der Neigung seiner Bahn gegen die Ekliptik oberhalb oder unterhalb der Sonnenmitte vorüber. Die Elongation gemäß der zweiten Definition nimmt dabei stets zu einem bestimmten Zeitpunkt den Wert Null an, da die geozentrischen Längen von Planet und Sonne bei diesem Vorgang zwangsläufig einmal zusammenfallen müssen – wenn Sonnen- und Planetenmitte in einer Normalebene auf die Ekliptik liegen. Die Elongation gemäß der ersten Definition dagegen sinkt nur auf einen bestimmten Minimalwert ab, um dann wieder zuzunehmen – nämlich den Winkelabstand im Augenblick der größten Annäherung.[7] Sie nähme nur dann den Wert Null an, falls die Planetenmitte exakt durch den Mittelpunkt der Sonnenscheibe liefe – was in der Natur exakt so nicht stattfindet. Entsprechendes gilt für die Opposition eines Planeten: Die Elongation nach der zweiten Definition nimmt stets für einen Augenblick den Wert 180° an, wenn sie von westlich auf östlich wechselt. Die Elongation nach der ersten Definition erreicht diesen Wert in der Regel nicht.

Daher finden sich auch heute noch in der Literatur abweichende Angaben für die beiden Aspekte. Meist wird die Konjunktion mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \lambda:= 0 (geozentrisch-ekliptikal), oder auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta \alpha:= 0 (also geozentrisch-äquatorial)[7] angegeben, Funktionen, welche zwar exakte Null werden, aber nicht den exakten Zeitpunkt der maximalen Nähe beschreiben, andernorts aber mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sphericalangle (\mathbf g \mathbf R):= \mathrm{min} (geozentrisch oder topozentrisch-sphärisch) oder in Bezug auf die Mondtheorie mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): D:= \mathrm{min} (gebrochen ekliptikal/Bahnsystem), welche typischerweise keine Nullstelle haben. Für Verwirrung gesorgt hat das insbesondere bei Durchgängen des Mondes nahe dem Knoten, also bei den Kriterien einer Sonnenfinsternis.

Aufgefallen ist der Fehler erst, seit Nullstellensuchen aufgrund der heutigen hohen Rechengenauigkeit versagten, oder andererseits Ausdrücke über den Winkelabstand in Computerprogrammen Abstürze produzierten, weil eine exakte Null auftauchte, wo keine sein sollte. Daher ist in neueren Publikationen ausdrücklich die Bezugsebene angeführt, oder der Begriff Elongation wird vermieden, die neue Mondtheorie ELP2000 etwa spricht explizit von Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi [8] anstelle ‚Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable‘ – mit ‚Argument‘ als Ausdruck der Himmelsmechanik für unspezifische, näher zu erläuternde Parameter. Bei älterer Literatur ist oft nicht leicht herauszufinden, welche Definition zugrunde liegt.

Größte Elongation

Während die Planeten (oder andere Himmelskörper), die sich außerhalb der Erdbahn befinden (obere Planeten), in Opposition stehen können und damit eine Elongation bis zu 180° erreichen, gilt das nicht für Planeten und andere Himmelskörper, deren Umlaufbahn sich innerhalb der Erdbahn befindet (untere Planeten). Objekte innerhalb der Erdbahn können sich naturgemäß nur innerhalb eines Bereiches ±90° aufhalten. Venus hat eine größte Elongation von nur 47°, und Merkur von 28°. Der genaue Wert schwankt, in astronomischen Jahrbüchern sind üblicherweise die Zeiten und Winkelgrade der größten westlichen bzw. östlichen Elongation angegeben.

Beispiel:

Merkur erreichte am 11. August 1990 den größten Winkelabstand von der Sonne (nämlich 27° 25') um 21 Uhr UT, den größten Abstand in geozentrischer Länge (27° 22') aber schon um 15 Uhr UT.[3]

Beobachtungspraxis

Die Elongation ist maßgeblich für die Sichtbarkeit eines Objekts. Allerdings ist nicht immer eine große Elongation gleichbedeutend mit einer guten Sichtbarkeit. So ist Merkur im Sommer und Herbst in unseren Breiten bei seiner maximalen östlichen Elongation am Abendhimmel und im Frühling und Winter bei seiner größten westlichen Elongation am Morgenhimmel nicht beobachtbar, obwohl diese größer ausfallen als die größten östlichen Elongationen im Winter oder Frühling und die größten westlichen Elongationen im Sommer oder Herbst, da in unseren Breiten die Ekliptik im Sommer und Herbst am Abend und im Winter und Frühling am Morgen flach zum Horizont steht und Merkur schon während der hellen Dämmerung untergeht, bzw. erst während der hellen Dämmerung aufgeht.

Merkur: Beobachtung

Auch die Venus erreicht ihre beste Sichtbarkeit nicht zur größten Elongation: Bei ihr ist der Beitrag durch den Anteil der beleuchteten Scheibe (Beleuchtungsgrad) aufgrund der Nähe zur Erde schon relevant. In der Größten Elongation sind aber nur etwa 53 % der Scheibe beleuchtet, und sie erreicht ihre maximale Helligkeit etwa fünf Wochen vor/nach der maximalen Elongation.

Venus:Sichtbarkeiten

Praktische Anwendung

Datei:Elongation untererPlanet Merkur.ogv
Beim Planeten Merkur beträgt die maximale Elongation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \psi_{max} = 22,77^{\circ}} , woraus für seinen Abstand zur Sonne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle 1\,\mathrm{AE} \cdot \sin 22,77^{\circ} \approx 0,387\,\mathrm{AE}} folgt (vereinfachtes Modell, Umlaufradien maßstäblich, Verhältnis der Umlaufzeiten wie in der Realität)
Datei:Elongation obererPlanet Jupiter.ogv
Beim Jupiter (Umlaufzeit 4332,74 Tage) beträgt die Zeit zwischen Opposition und Quadratur 87,43 Tage. In diesem Zeitraum hat sich Jupiter um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle 360^{\circ} \cdot \frac{87{,}43}{4332{,}74} \approx 7{,}26^{\circ}} , die Erde um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle 360^{\circ} \cdot \frac{87{,}43}{365{,}26} \approx 86{,}17^{\circ}} bewegt. Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \gamma = \angle P'SE' \approx 86{,}17^{\circ} - 7{,}26^{\circ} = 78{,}91^{\circ}} folgt für den Abstand des Jupiter zur Sonne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \frac{ 1 }{ \cos \gamma }\,\mathrm{AE} \approx 5{,}2\,\mathrm{AE}} (vereinfachtes Modell, Umlaufradien maßstäblich, Verhältnis der Umlaufzeiten wie in der Realität).

Durch Beobachtung der Elongation kann man in unserem Sonnensystem den Abstand eines Planeten zur Sonne in AE (d. h. relativ zum Abstand Erde–Sonne) bestimmen. Die Kenntnis der relativen Abstände benötigte z. B. Kepler für die Aufstellung der nach ihm benannten Gesetze. Zur Erklärung nehmen wir vereinfacht alle Umlaufbahnen als kreisförmig an. Wir bezeichnen die Sonne mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle S} , die Erde mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle E} , den Planeten mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle P} sowie die Abstände der drei Himmelskörper untereinander mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \left\vert SE \right\vert} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \left\vert SP \right\vert} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \left\vert EP \right\vert} . Es sind zwei Fälle (unterer bzw. oberer Planet) zu unterscheiden.

Bei einem unteren Planeten schwankt die Elongation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \psi} zwischen 0° und einem Wert kleiner als 90° (siehe Animation für Merkur). Für den maximalen Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \psi_{max}} bildet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle EP} eine Tangente an die Umlaufbahn von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle P} , d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle EP \perp SP} . Daher ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \triangle SEP} rechtwinklig, und es ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sin \psi_{max} = \frac{\left\vert SP \right\vert}{\left\vert SE \right\vert}

Mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\vert SE \right\vert = 1\,\mathrm{AE}

ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\vert SP \right\vert = 1\,\mathrm{AE} \cdot \sin \psi_{max}

Den Abstand eines oberen Planeten zur Sonne kann man nicht allein aus der Beobachtung der zwischen 0° (Konjunktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle P} ) und 180°(Opposition von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle P} ) liegenden Elongation bestimmen. Kennt man zusätzlich die Umlaufzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle T_P} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle P} , so existieren verschiedene, jedoch vom Prinzip gleiche Ansätze. Im einfachsten Fall beginnt man die Beobachtung bei Opposition von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle P} (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \psi = 180^{\circ}} ). Nun zählt man die Tage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle t} , bis der Planet in Quadratur steht, d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \psi' = 90^{\circ}} . Zu diesem Zeitpunkt sei die Position der Erde mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle E'} , die des Planeten mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle P'} bezeichnet (siehe Animation für Jupiter). Bezeichnen wir die Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \alpha = \angle ESE', \beta = \angle PSP'} , so stehen diese zum vollen Kreis im gleichen Verhältnis wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle t} zu den zugehörigen Umlaufzeiten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{ \alpha }{ 360^{\circ} } = \frac{ t }{ 365,256 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{ \beta }{ 360^{\circ} } = \frac{ t }{ T_P }

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \gamma = \angle P'SE'} . Wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \gamma = \alpha - \beta} können wir diesen Winkel berechnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma = 360^{\circ} \cdot t \cdot \left( \frac{ 1 }{ 365,256 } - \frac{ 1 }{ T_P } \right)

Im rechtwinkligen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \triangle SP'E'} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos \gamma = \frac{ \left\vert SE' \right\vert }{ \left\vert SP' \right\vert }

Mit der Kenntnis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \gamma} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\textstyle \left\vert SE' \right\vert = 1\,\mathrm{AE}} ergibt sich für den Abstand des Planeten zur Sonne

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left\vert SP \right\vert = \left\vert SP' \right\vert = \frac{ 1 }{ \cos \gamma }\,\mathrm{AE}

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable
  2. Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable
  3. 3,0 3,1 3,2 Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable
  4. Eintrag [Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable] In: Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable .Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable
  5. Eintrag Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable In: Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable Archiviert vom Original am 2008-01-12, .Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable
  6. Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable
  7. 7,0 7,1 Eintrag [Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable] In: Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable Eric Weisstein, (Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable, dort wird die Definition nach Bureau des Longitudes als Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable bezeichnet).Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable
  8. Lua-Fehler: Der Prozess konnte nicht erstellt werden: proc_open(): Fork failed: Resource temporarily unavailable