Dyson-Gleichung

Die Dyson-Gleichungen sind von Freeman Dyson gefundene Zusammenhänge zwischen verschiedenen S-Matrix-Elementen bzw. Greenfunktionen einer Quantenfeldtheorie. Zwar wurden die Gleichungen von Dyson nur für Zwei-Punkt- und Drei-Punkt-Funktionen in der Quantenelektrodynamik durch Aufsummieren unendlich vieler Feynman-Diagramme gefunden,[1] doch gelten diese Integralgleichungen allgemein in Quantenfeldtheorien und werden auch für allgemeine n-Punkt-Funktionen verwendet.

Sie stellen die vollen (dressed) renormierten Green-Funktionen dar durch einen wechselwirkungsfreien Anteil, die sogenannten nackten (bare) Green-Funktionen, und einen wechselwirkungsbehafteten Teil, der alle möglichen Wechselwirkungen der beteiligten Felder beinhaltet.

Datei:Dysoneq.pdf
Die Dyson-Gleichung des Elektronpropagators

Die originalen Dyson-Gleichungen lauten:[1]

  • für den Elektron-Propagator: $ S=S_{0}+S_{0}\Sigma S $
  • für den Photon-Propagator: $ D^{\mu \nu }=D_{0}^{\mu \nu }+D_{0}^{\mu \alpha }\Pi _{\alpha \beta }D^{\beta \nu } $
  • für den Elektron-Photon-Vertex: $ \Gamma _{\mu }=\gamma _{\mu }+\Lambda _{\mu } $

wobei

  • die tiefgestellte 0 jeweils die wechselwirkungsfreien Terme kennzeichnet und
  • die großen griechischen Buchstaben jeweils die irreduzible Green-Funktion für das Ein-Teilchen-System darstellen, also

Die ersten zwei Gleichungen sind Einteilchenfälle (n=1) der allgemeinen Form für n Teilchen, die heute oft als die Dyson-Gleichung bezeichnet wird:

$ G^{n}=G_{0}^{n}+G_{0}^{n}K^{n}G^{n} $

mit

  • der vollen Green-Funktion $ G^{n} $
  • der Green-Funktion $ G_{0}^{n} $ für n wechselwirkungsfreie Teilchen
  • den irreduziblen Wechselwirkungen $ K^{n} $.

Die Dyson-Gleichung, auch in Form der Dyson-Schwinger-Gleichungen, wird heute in vielen Bereichen der theoretischen Physik eingesetzt.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. 1,0 1,1 F. Dyson: The S Matrix in Quantum Electrodynamics. In: Phys. Rev.. 75, 1949, S. 1736. doi:10.1103/PhysRev.75.1736.

en:Dyson equation

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